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Universidad Autónoma de Baja California

FCQI: Ingeniería Industrial

Sandoval López Leydi Viridiana

Inferencia Estadística; Estimaciones:
Puntual.
Intervalos.
Media aritmética.
Proporción.
Varianza.

Estadística Industrial: Cesar López Barreras.

Tijuana Baja California a 22 de noviembre de 2013


INFERENCIA ESTADÍSTICA; ESTIMACIONES
¿Qué es una estimación?
Cuandoqueremos realizar un estudio de una población cualquiera de la que desconocemos sus parámetros, por ejemplo su media poblacional o la probabilidad de éxito si la población sigue una distribución binomial, debemos tomar una muestra aleatoria de dicha población a través de la cual calcular una aproximación a dichos parámetros que desconocemos y queremos estimar. Bien, pues esa aproximación se llamaestimación.
Además, junto a esa estimación, y dado que muy probablemente no coincida con el valor real del parámetro, acompañaremos el error aproximado que se comete al realizarla.

Estimación puntual
Una estimación puntual del valor de un parámetro poblacional desconocido (como puede ser la media µ, o la desviación estándar σ), es un número que se utiliza para aproximar el verdadero valorde dicho parámetro poblacional. A fin de realizar tal estimación, tomaremos una muestra de la población y calcularemos el parámetro muestral asociado (x para la media, s para la desviación estándar, etc.). El valor de este parámetro muestral será la estimación puntual del parámetro poblacional.
Por ejemplo, supongamos que la compañía Sonytron desea estimar la edad media de los compradores deequipos de alta fidelidad. Seleccionan una muestra de 100 compradores y calculan la media de esta muestra, este valor será un estimador puntual de la media de la población.
¿Qué propiedades debe cumplir todo buen estimador?

Insesgado: Un estimador es insesgado cuando la media de su distribución muestral asociada coincide con la media de la población. Esto ocurre, por ejemplo, con el estimador x, ya que µx = µ y con estimador p´ ya que p µp′ =
De varianza mínima: La variabilidad de un estimador viene determinada por el cuadrado de su desviación estándar. En el caso del estimador x, su desviación estándar es;
También llamada error estándar de µ.
En el caso del error estándar de p´,

Observar que cuanto mayor sea el tamaño de la muestra n , menor será lavariabilidad del estimador x(testada) y de p´, por tanto, mejor serán nuestras estimaciones.
Estimación por intervalo
Dada una población X, que sigue una distribución cualquiera con media µ y desviación estándar σ .
1. Sabemos (por el TCL) que, para valores grandes de n , la media muestral x sigue una distribución aproximadamente normal con media µx = µ y desviación estándar
2.
3. Por otraparte, el Teorema de Chebyshev nos dice que, en una distribución normal, aproximadamente un 95% de los datos estaban situados a una distancia inferior a dos desviaciones estándar de la media. De lo anterior se deduce que:
Por tanto, ésta última fórmula nos da un intervalo de valores tal que la probabilidad de que la media de la población µ esté contenida en él es de 0,95.
Este tipo deintervalos se llaman intervalos de confianza de un parámetro poblacional. El nivel de confianza (1 - α) del intervalo es la probabilidad de que éste contenga al parámetro poblacional. En el ejemplo anterior, el nivel de confianza era del 95% (α = 0,05).

Estimacion de una proporción
Sea X una variable binomial de parámetros n y p (una variable binomial es el número de éxitos en n ensayos; en cadaensayo la probabilidad de éxito (p) es la misma, por ejemplo: número de diabéticos en 2000 personas).

Si n es grande y p no está próximo a 0 ó 1 (np ³ 5) X es aproximadamente normal con media np y varianza npq (siendo q = 1 - p) y se puede usar el estadístico (proporción muestral), que es también aproximadamente normal, con error típico dado por 
en consecuencia, un IC para p al 100(1 - a)%...