4 5 Gráficas de la tangente cotangente secante y cosecante _ DoRita CaTagña Academia

4/6/2015

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4 5 Gráficas de la tangente, cotangente, secante y
cosecante
 

SECCIÓN 4.5

Gráficas de la tangente, cotangente, secante y cosecante

33

4.5
Gráficas de la tangente, cotangente, secante y cosecante
Aprenderá acerca de...
■

La función tangente

■

La funcióncotangente

■

La función secante

■

La función cosecante

La función tangente
La gráfica de la función tangente se muestra a continuación. Como sucede en los
casos de las gráficas de seno y coseno, esta gráfica nos indica muchas propiedades de la función. En el siguiente recuadro se encuentra un resumen de las características de la tangente:

. . . porque
Esto proporciona las funciones
de lasrazones trigonométricas
restantes.

FUNCIÓN TANGENTE
 f ( x)

ϭ tan x.
Dominio: Todos los reales excepto los múltiplos impares de ␲  ր 2.

– π  /2,

 /2 por –4, 4

π 

Rango: Todos
reales.continua en su dominio).
Continua
(por los
ejemplo,
Crece en cada intervalo de su dominio.
Simétrica con respecto al origen (impar).
Sin cota superior ni inferior.
Sin mínimos ni máximos locales.
Sin asíntotashorizontales.
Asíntotas verticales  x ϭ k • ͑␲  ր 2͒ para todos los impares enteros k.
Comportamiento en los extremos: lím tan x y lím tan x no existen. (Los valores
 x Ϫϱ
 x ϱ
de las funciones oscilan continuamente entre Ϫϱ e ϱ sin aproximarse a un límite).
→

→

 y

 x

–
–

FIGURA 4.45 La función tangente tiene
asíntotas justo en donde la función coseno es
cero.
 y

3

–

Ahora analizaremos lasrazones de que la gráfica  f ( x) ϭ tan x presente el comportamiento señalado. De las definiciones de las funciones trigonométricas (sección
4.2) se sigue que
sen x
tan x ϭ ᎏᎏ.
cos  x
A diferencia de las sinusoidales, la función tangente tiene un denominador que puede ser cero, lo que hace que la función sea indefinida en ese caso. Eso ocurre un número infinito de veces: en todos los valores de xpara los cuales cos  x ϭ 0. Es por
eso que la función tangente tiene asíntotas verticales en esos valores (figura 4.45).
La función tangente es cero justo donde la función seno también es cero: todos los
múltiplos enteros de ␲  (figura 4.46).
Ya que sen  x y cos  x tienen como periodo 2 ␲ , tal vez espere que el periodo de la
función tangente sea el mismo. Las gráficas muestran, sin embargo, que es␲ .

 x
π

π 

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FIGURA 4.46 La función tangente es cero justo
en donde la función seno también es cero.

Copyright (c)2010 Pearson Education, Inc.
 

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CAPÍTULO 4

 Funcionestrigonométricas 

Las constantes a, b, h y k influyen en el comportamiento de  y ϭ a tan(b( x Ϫ h) ϩ k 
en la misma forma que lo hacen en la gráfica de  y ϭ a sen(b( x Ϫ h) ϩ k . La constante a genera un estiramiento o compresión vertical, b afecta al periodo, h provoca una traslación horizontal y k  causa que se tenga una traslación vertical. Sin
embargo, los términos amplitud y corrimiento de fase no seemplean, como se hace únicamente para las sinusoidales.

EJEMPLO 1 Gráfica de la función tangente
Describa la gráfica de la función  y ϭ Ϫtan 2 x en términos de una función trigonométrica básica. Localice las asíntotas verticales y grafique cuatro periodos de
la función.
SOLUCIÓN El efecto del 2 es una compresión horizontal de la gráfica de
 y ϭ tan x por un factor de 1/2, mientras que el efecto del Ϫ1es un reflejo con respecto al eje  x. Ya que las asíntotas verticales de  y ϭ tan  x son múltiplos impares
de ␲  /2, el factor de compresión provoca que las asíntotas verticales de y ϭ tan 2 x
sean múltiplos impares de ␲  /2 (figura 4.47a). El reflejo respecto al eje  x (figura

4.47b) no cambia las asíntotas.
Debido a que el periodo de la función  y ϭ tan  x es ␲ , el periodo de la función...