4_VaribleAleatoriaDiscreta

4. Variable aleatoria discreta

El mismo Doob explicaba el origen del término variable aleatoria
(random variable): "Cuando estaba escribiendo mi libro [Stochastic
Processes] tuve una discusión con William Feller. Él aseguraba que todo
el mundo decía "variable aleatoria" (random variable), mientras que yo
sostenía que se usaba "variable al azar" (chance variable).
Obviamente, debíamos usar elmismo nombre en nuestros libros, así que
optamos por tomar la decisión mediante un procedimiento aleatorio:
1
lanzamos una moneda y él ganó".

Variable aleatoria
Una variable aleatoria X es una función que asocia a
cada suceso del espacio muestral E de un experimento
aleatorio un valor numérico real:

X :E  
w  X ( w)
Llamar variable a una función resulta algo confuso,
por ello hay que insistiren que es una función.
La variable aleatoria puede ser discreta o continua.
2
Veremos en este capítulo el caso discreto.

Ejemplo de variable aleatoria discreta:

Número de caras al lanzar
3 monedas.
Elementos del
espacio muestral

+++

++C +C+

C++

CC+

C+C

+CC CCC

Ley de
correspondencia

Nº reales
(# de caras)

0

Establecer una variable aleatoria
para un experimento aleatorio no
es más queuna manera de asignar
de "manera natural" números a los
eventos.

1

2

3 caras

X :E  
w  X ( w)
3

Función de probabilidad
Voy a pensar un número entero del 1 al 100.
“¿Qué numero será?”
Intentaremos representar el estado de incertidumbre
mediante una función matemática: la función de
probabilidad.
P

1/100
1 2 3

........

99 100 X
4

Distribución uniforme discreta
En muchos casos asumimosque todos los resultados de
un experimento aleatorio son igualmente posibles.
Si X es una variable aleatoria que representa los resultados
posibles del experimento, decimos que X se distribuye
uniformemente.
Si el espacio muestral consta de n sucesos simples,
0 < n < ∞ , entonces la función de probabilidad discreta se
define como p(x) = 1/n para todo x del espacio muestral.
En un ordenador podemosgenerar una distribución de valores
con esta probabilidad con:
1 + int [n (rnd)]
5

Supongamos que me preguntáis si es par.
Y respondo que no. ¿Cómo modifica la función?
P

1/50
1 2 3

........

99 100 X

Os pido una pregunta de modo que mi respuesta
genere una función de incertidumbre, de probabilidad,
tal que los valores del espacio muestral posibles (con
probabilidad distinta de cero) notengan todos la misma
probabilidad. ¿Son válidas: “¿Tiene dos cifras el número?”
6
o “¿Es un número primo?” ?

Función de probabilidad o distribución
Una vez definida una variable aleatoria X, podemos
definir una función de probabilidad o distribución
de probabilidad asociada a X, de la siguiente forma:

p :   [0,1]
x  p ( x) P ( X  x)
La función de probabilidad debe cumplir:

(i ) 0  p ( x) 1x  
(ii )  p( x) 1
x

(Suma sobre todos los posibles valores
7
que puede tomar la variable
aleatoria).

Función de probabilidad discreta

Valores

Z

0 1/4 = 0.25
1 2/4 = 0.50

Z
Z

Probabilidad

2 1/4 = 0.25

Z

X :E  
w  X ( w)

p :   [0,1]
x  p ( x) P8 ( X  x)

Requerimientos de una distribución de
probabilidad
X

P(X)

X

P(X)

X

P(X)

-1
0
1
2
3

.1
.2
.4
.2
.1
1.0

-1
0
1
23

-.1
.3
.4
.3
.1
1.0

-1
0
1
2
3

.1
.3
.4
.3
.1
1.2

0  p ( x ) 1 para todo x

 p( x) 1
x

9

Observa que aun si el espacio muestral es infinito
numerable, también podemos definir una variable
aleatoria discreta y una función de probabilidad.
Ejemplo: Sea X = Número de lanzamientos de una
moneda antes de que aparezca una cara.
Entonces:
P(X = 1) = P(C) = 1/2
P(X =
2) = P(+C) = 1/2 ∙ 1/2 =1/4
P(X = 3) = P(++C)
= 1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8
...
y en general P(X = n) = (1/2)n, n = 1, 2,…
Demuestra que está normalizada.

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X:ES

Sea el experimento “lanzar dos dados”. Definamos
el espacio muestral E como:
E = {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)}
Definamos la variable aleatoria discreta X como:
con S = {2,3,...,12} la suma de puntos.
Una posible función de probabilidad es:

f :  ...