5_EDOS_ModelosMatematicos_DenisZill

Ecuaciones
 Diferenciales
 como
 
Modelos
 matemá4cos
 

Algunas aplicaciones de las
ecuaciones diferenciales
de primer orden
•  Decaimiento radioactivo
•  Ley de enfriamiento de Newton
•  Drenado de un tanque

Ecuaciones Diferenciales como modelos matemáticos

Suposiciones
 

Se
 expresan
 las
 suposiciones
 en
 
términos
 de
 ecuaciones
 
diferenciales
 

Si es
 necesario,
 
se
 modifican
 las
 suposiciones
 
 
o
 se
 aumentan
 la
 
 
resolución
 del
 modelo
 
 

Se
 comprueban
 
 
las
 predicciones
 
 
del
 modelo
 con
 
 
hechos
 conocidos
 

Formulación
 
 
matemá7ca
 

Se
 resuelven
 las
 EDs
 

Se
 muestran
 las
 predicciones
 
 
del
 modelo.
 
Por
 ejemplo, gráficamente
 

Se
 ob7ene
 
 
la
 solución
 

Modelos
 lineales
 
Crecimiento
 y
 decaimiento
 

 

 

 

 

 

  dx

 

 

 

 

 
= kx, x(t0 ) = x0

  dt
k
 >
 0
 es
 una
 constante
 de
 
 
crecimiento,
 y
 k
 >
 0
 es
 una
 
 
constante
 de
 decaimiento.
 
Este
 modelo
 fue
 propuesto
 
por
 Thomas Malthus,
 
económista
 inglés
 


 

 


 

 


 
 

 
 

Dinámica
 Poblacional
 (Thomas
 Maltus
 1798)
 

 Si
 P(t)
 representa
 la
 población
 en
 el
 7empo
 t,
 entonces
 

 
 

 dP/dt
 ∝
 P
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 dP/dt
 =
 kP
 

 

 

 
 

 

 donde
 k
 >
 0
 es
 una
 constante
 de
 proporcionalidad.
 

 
Desintegración
 Radiac@va
 
Si
 A(t)
 representa
 la
 can7dad
 de
 sustancia
 radiac7va
 restante
 en
 
el
 7empo
 t,
 entonces
 

 
 
 
 
 
 

 dA/dt
 ∝
 A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 dA/dt
 =
 kA
 

 

 

 
 

 donde
 k
 <
 0
 es
 una
 constante
 de
 proporcionalidad.
 

 

 

Una sola ED puede servir como un modelo matemático para muchos
fenómenos.

Crecimiento
 de
 bacterias
 
P0 : cantidad inicial de bacterias = P(0)
P(1) = 3/2P(0)
Determine el tiempo necesario para
que se triplique el número de
bacterias.
Solución:
 
Como
 dP/dt
 =
 kt,
 
 
 dP/dt
 –
 kt
 =
 0,
 
 
tenemos
 
 
 P(t)
 =
 cekt,
 usamos
 P(0)
 =
 P0
 
luego
 c
 =
 P0
 y
 P(t)
 =
 P0ekt
 
 

 
Como
 P(1)
 =
 3/2
 P(0),
 entonces
 
 
P(1)
 =
 P0ek
 =
 3/2
 P(0).
 Por
 tanto,
 k
 =
 ln(3/2)
 =
 0.4055.
 
Ahora
 P(t)
 =
 P0e0.4055t
 =
 3P0
 ,
 
 
t
 =
 ln3/0.4055
 =
 2.71.
 

Decaimiento radioactivo
¿Cómo calcular la desintegración?
Hipótesis
La rapidez, dy/dt, a la que se desintegran los núcleos de una sustancia
es proporcional a la cantidad, y(t) de la sustancia restante en el tiempo t

Modelo matemático

dy
dy
α[y (t )] ⇒ = ky (t )
dt
dt

Período
 de
 semidesintegración
 del
 plutonio
 
Un
 reactor
 convierte
 U-­‐238
 en
 el
 isótopo
 plutonio
 239.
 Después
 de
 
pasar
 15
 años,
 0.043%
 de
 la
 can7dad
 inicial
 A0
 del
 plutonio
 se
 ha
 
desintegrado.
 Calcule
 el
 período
 de
 semidesintegración
 de
 este
 
isótopo.
 Solución:
 Sea
 A(t)
 la
 can7dad
 de
 Plutonio
 en
 el
 7empo
 t.
 La
 ED
 es
 
 

 
dA

  dt
 = kA,
 A(0) =
  A0

 

 

 

 
 
La
 solución
 es
 A(t)
 =
 A0ekt.
 Si
 0.043%
 de
 A0
 se
 han
 desintegrado,
 queda
 
99.957%.
 
Entonces,
 0.99957A0
 =
 A(15)
 =
 A0e15k,
 luego
 
 
k
 =
 (ln...