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6. Derivada de funciones implícitas. La derivada de la función implícitadefinida mediante la ecuación puede calcularse: o bien despejando la y , o bien, mediante la siguiente fórmula:
, siempre que

Las derivadas de orden superior de una función implícita se pueden calcular mediante la derivación sucesiva de la fórmula anterior, considerando y como función de x.
Las derivadas parciales de unafunción implícita de dos variables definida mediante la ecuación pueden calcularse mediante las fórmulas:
; siempre que
Dada la ecuación Si el punto cumple la ecuación, la función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de y entonces la ecuación define una función explícita en un entorno decon
Dada la ecuación Si el punto cumple la ecuación, la función F tiene derivadas parcialescontinuas en un entorno de y entonces la ecuación define una función explícita en un entorno de dicho punto.
1. Calcula y', siendo

Solución:
Tenemos:
hallamos las derivadas parciales:
;
Por lo tanto:



2. Calcula y, siendo

Solución:
Tenemos:
hallamos las derivadas parciales:
;;
Por lo tanto:
:
3. Demuestra que la ecuación define en un entorno del punto (1, 1) una función Calcula y'(1) e y''(1)Solución:
a) Existencia de la función explícita:
Consideramos la función: tenemos:

F es diferenciable con continuidad en y por lo tanto en un entorno de (1, 1)

Luego, de acuerdo con el teorema de existencia de funciones implícitas existe en un entorno de 1 con
b) Cálculo de y'(1)
Derivamos la ecuación teniendo en cuenta que y es función de x
sustituyendo
c) Cálculo de y''(1)
Derivando laecuaciónse tiene.

Este caso particular también se podía haber resuelto despejando y eligiendo el signo + ya que
4. Calcula dz en la ecuación

Solución:
Consideramos la función:
Hallamos las derivadas parciales

Con lo cual

Con lo que resulta:


3.3 Extremos de una función de varias variables.
3.3.1. Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales.
Definición. Una función tiene unmáximo (mínimo) en un punto si el valor de la función en este punto es mayor (menor) que su valor en cualquier otro punto X(x,y) de algún entono de P.
Condiciones necesarias de extremo. Si una función diferenciable alcanza un extremo en el punto entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto son iguales a cero, o sea:
;
Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cerose llaman puntos críticos o estacionarios. No todo punto crítico es un punto extremo.


Condiciones suficientes para la existencia de extremos.
(a) Caso de dos variables. Sea un punto crítico de una función con las derivadas parciales de segundo orden continuas en P, y sea el determinante de su matriz hessiana, entonces:

Es decir, si el hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da , si esnegativa máximo y si es positiva mínimo). Si el hessiano es negativo no hay extremo. Y si el hessiano es cero hay duda (que habrá que resolver por otro método)
(b) Caso de tres o más variables. Calculamos los siguientes determinantes:
; ;;...;
i. Si todos los determinantes tienen signo positivo, entonces la función tiene un mínimo en
ii. Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando conun valor negativo ), entonces la función tiene un máximo en
iii. En cualquier otro caso hay duda.
iv. 31. Halla los extremos de la función

Solución:
v. (a) Calculamos las derivadas parciales de primer orden.
;
vi. Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.

vii. y resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=0. Luego P(0,0) es el único punto crítico de la función.
viii.Hallamos la matriz hessiana de f en P(0,0).





ix.
x. Con lo cual tenemos H(0,0)=0 luego hay duda.
xi. Para determinar la naturaleza del punto crítico hay que acudir a otros criterios, en este caso basta observar la función para que se trata de un mínimo ya que
El valor de la función en el mínimo es f(0,3)=-8.
32. Halla los extremos de la función

Solución:
(a) Calculamos las derivadas...