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Colegio Nacional de Ushuaia
Apuntes teórico – prácticos
9no año – EGB 3

Matemática
Beatriz Ledesma

PROPORCIONALIDAD. TEOREMA DE THALES. TRIGONOMETRÍA
RAZONES Y PROPORCIONES:
Una razón es el cociente indicado entre dos cantidades. La razón entre a y b, donde b ≠ 0
se indica

a
b

a se denomina ANTECEDENTE y b se denomina CONSECUENTE.

Cuatro cantidades a, b, c, d, en ese orden forman unaproporción si se cumple que

a c
=
b d

b≠ 0 y d≠ 0

Se lee: “a es b
como c es a d”

a y d se llaman extremos; b y c se llaman medios
Propiedad fundamental de las proporciones:
En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. En

a c
= ⇔ a ⋅b = b ⋅c
b d
1 7
Un ejemplo numérico: =
⇔ 2 ⋅ 7 = 1 ⋅ 14
2 14

símbolos:

TEOREMA DE THALES:
Si tres o más paralelas son cortadaspor dos transversales, la razón de las longitudes de los
segmentos determinados en una de ellas, es igual a la razón de las longitudes de los segmentos
correspondientes determinados en la otra
E F
A
B

A//B //C//D
E y F son transversales

ab
bc
cd
=
=
a ' b' b' c ' c ' d '

a

C
D

d

a’

b

b’

c

c’
d’

Consecuencias del teorema de Thales:
Toda recta paralela al lado de un triángulo, que corte alos otros dos lados o sus prolongaciones,
determina sobre éstos segmentos proporcionales.

ma nc
=
ab
cb

ab cb
=
bm bn

1

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9no año – EGB 3

Matemática
Beatriz Ledesma

RAZONES TRIGONÓMETRICAS:
Triángulos rectángulos: un triángulo rectángulo es aquel que tienen un ángulo recto. El lado
opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otrosdos lados, catetos.

Razones trigonómetricas: Se llaman razones trigonométricas a aquellas que relacionan las
longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con los ángulos agudos del mismo.
Para cada uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, uno de los catetos es el
adyacente y el otro es el opuesto.

Las razones trigonométricas se definen de la siguiente manera:
Seno de unángulo: es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

Sen x =

cat.opuesto
hipotenusa

sen αˆ =

cb
ab

ac
y sen βˆ =
ab

Coseno de un ángulo: es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Cos x =

cat.adyacente
hipotenusa

cos αˆ =

ac
cb
y cos βˆ =
ab
ab

Tangente de un ángulo: es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Tg x =

cat.opuesto
cat.adyacetne

tg αˆ =

cbac

ac
tg βˆ =
cb

y

Si lo que se conoce es el ángulo, para calcular las razones trigonométricas se utiliza la
calculadora científica y dichos valores se obtienen de la siguiente manera:
• Para calcular el seno de 30°:
Secuencia de las teclas:
sin

3

0

°

=

En el visor aparecerá 0,5; este es el valor del seno de 30°
• Para calcular el coseno de 45°:
Secuencia de las teclas:
cos

4

5

°

=

Enel visor aparecerá 0,707106781. se redondea a las milésimas y el valor del coseno de 45°
será 0,707.
Si se conoce la razón trigonométrica y se quiere saber el valor del ángulo:
• El seno de un ángulo desconocido es 0,49:
Secuencia de las teclas:
shift

sin

0

.

4

9

2

=

, ,,

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Matemática
Beatriz Ledesma

En el visoraparecerá 29° 20’ 26,09’’. Se redondea los segundos y finalmente se considera el
siguiente valor: 29°20’26’’.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS:
Resolver un triángulo rectángulo significa hallar el valor de los tres lados y el valor de los dos
ángulos agudos. Para ello se utiliza el teorema de Pitágoras, las razones trigonómetricas, y la
propiedad de los ángulos agudos (en todo triángulorectángulo, los ángulos agudos son
complementarios)
aˆ = 50°
• Dado un ángulo agudo y uno de sus lados:
Para calcular bˆ debe aplicarse la propiedad de los ángulos agudos: a

Datos

a c = 4cm

aˆ + bˆ = 90° ⇒ bˆ = 90° − aˆ ⇒ 90° − 50° ⇒ bˆ = 40°
Para calcular el lado ab, debe aplicarse la razón trigonométrica
que relacione los dos datos con el lado:
cos aˆ =

c

b

ac
ac
4cm
4cm
⇒ ab =
⇒ ab =
⇒ ab =
⇒ ab...