704815

“Año De La Integración Nacional Y El Reconocimiento De Nuestra Diversidad”

Universidad Privada del Norte”

Facultad: Ingeniería

Carrera profesional: Ingeniería Civil

Curso: Calculo 3

Tema: Construcción de un Oleoducto

Integrante:
Briones Pastor, Edwin
Huaccha Montenegro, Cristhian Jhon
Mendoza Huaccha, Anthony
Mendoza Vásquez, Astrid
Clase: 601810

Fecha: 10 dejulio del 2012

Lugar: Cajamarca

Cajamarca-2012

INTRODUCCION
Una de las principales aplicaciones de las derivadas ordinaria es hallar los valores máximos y mínimos. En este documento aprenderemos como usar las derivadas parciales para localizar los máximos y mínimos de funciones de dos variables.

OBJETIVOS
* Analizar el problema propuesto por el docente para así poder desarrollar eltema a exponer.
* Reforzar conocimientos del tema máximos y mínimos en el desarrollo del tema.
* desarrollar el ejercicio propuesto con el análisis anteriormente desarrollado.

Máximos y mínimos

DEFINICION:
Una función de dos variables tiene un máximo relativo en la (a, b) si f(x, y) ≤ f(a, b) cuando (x, y) está cerca de (a, b). (Esto quiere decir que f(x, y) ≤f(a, b) para todo los puntos (x, y) en algún disco con centro (a, b).) El numero f(a, b) recibe el nombre de valor máximos relativo. Si f(x, y) ≥ f(a, b) cuando (x, y) está cerca de (a, b), entonces f(a, b) en un mínimo relativo en (a,b) y f(a, b) es un valor mínimo relativo.
Si las desigualdades de la definición 1 se cumplen para todo los puntos (x, y) en el dominio de f,entonces f tiene un máximo absoluto, o un mínimo relativo en (a, b).

TEOREMA 2: Si F tiene un máximo relativo o u mínimos relativo o un mínimo relativo en (a,b) y las derivadas parciales de primer orden existen allí entonces fx(a,b)=0 y Fy(a,b)=0
Demostración:
Sea g(x)=f(x, b) Si F tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en (a, b), entonces g Tiene un máximorelativo o un mínimo relativo en α, e entonces g´(a)=0 según el teorema de Fermat .Pero g´(a)=fx(a,b) de modo que fx(a,y),obtiene fy(a,b)=0.
Si hace fx(a,b) =0 y fy(a b) =0 en la ecuación de un plano tangente ,obtiene z=z0 . Por lo tanto, la interpretación geométrica del teorema 2 es que si la gráfica de f tiene un plano tangente en un máximo relativo o en un mínimo relativo, entonces el planotangente debe ser horizontal.

Un punto (a,b) se llama punto crítico o punto estacionario de f si Fx(a,b)=0 y Fy=(a,b)=0, o si una de estas derivadas parciales no existe. El teorema 2 dice que si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en (a,b), entonces (a,b) es un punto crítico de f. Sin embargo, como en el cálculo de una variable, no todos los puntos críticos generan un máximo o unmínimo. En un punto crítico, una función podría tener un máximo relativo o un mínimo relativo o ninguno de los dos.
EJEMPLO 1:
Sea f(x,y) = x2 + y2 – 2x – 6y +14. Entonces.
fx(x,y)= 2x – 2 fy(x,y) 2y-6
Estas derivadas parciales son iguales a 0 cundo x=1 y y=3, de modo que el único punto crítico en (1,3). Al completar el cuadrado, se encuentra que:
f(x,y) = 4+ (x-1)2 + (y – 3)2
Puesto que (x-1)2≥0 y (y – 3)2 ≥0, tiene que f(x, y) ≥4 para todos los valores de x y y . Por lo tanto, f (1,3) =4 en un mínimo relativo, y, en efecto, es el mínimo absoluto de f. Se puede confirmar lo anterior en forma geométrica a partir de la grafica de f, la cual es el paraboloide elíptico con vértice (1, 3,4) que se ilustra en la figura 2.

EJEMPLO 2:
Calculo los valores extremos de f(x, y) = y2-x2.Solución:

Puesto que fx =-2x y fy = 2y, el único punto crítico es (0,0). Observe que para que los puntos en el eje x, y =0, de modo que f(x, y)= -x2<0 (si x ≠ 0). No obstante, para puntos en el eje x, y=0, de modo que f(x, y) = y2 > 0 (si y≠0). Por lo tanto, todo disco con centro en (0,0) contiene puntos donde f toma valores positivos, así como puntos donde f toma valores...