8 FUNCION DE TRANSFERENCIA ORDENES MAYORES

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

8 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PARA SISTEMAS DE
ÓRDENES MAYORES

Sistemas de segundo orden
Consideremos una EDO de segundo orden con parámetros constantes.

d2y
dy
 a1  a0 y  b u t 
2
dt
dt
También se puede escribir esa misma ecuación de esta forma:
a2

d2y
dy

 2
 y  k u t 
2
dt
dt
2

donde

2 

a2
a0

2 

a1
a0

k

b
a0

y se llaman k: ganancia(unidades de salida/entrada)
: factor de amortiguamiento (“dumping”, adimensional)
 : período natural (unidades de tiempo)
Si tomamos transformadas de Laplace

 2 s 2Y s   sy0  y 0 2 sY s   y0  Y s   kU s 
Y asumimos que las condiciones iniciales son nulas (lo cual es generalmente cierto pues
trabajamos con variables desviación)

Y s  

k
U s 
 s  2 s  1
2 2Las raíces del denominador de la función de transferencia se llaman polos, y tienen una
importancia fundamental en el comportamiento del sistema

pi  

 2 1





A saber:
Factor de dumping

polos

comportamiento

>1

2 reales distintos

Sobreamortiguado

=1

2 reales iguales

Críticamente
amortiguado

<1

2 complejo conjugados

Subamortiguado



ILM

1

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOSRespuesta a un escalón para sistemas de segundo orden
Según los casos anteriores el comportamiento va a ser distinto:
Sistema sobreamortiguado ( > 1, polos reales y distintos) – El denominador se puede
factorear de la siguiente manera:

 2 s 2  2 s  1   1s  1 2 s  1
Y por lo tanto los polos son

 2 1

p2     
2



 2 1

p1     
1


1

O bien

1 

1



2 

  1
2

O bien

 2   1 2

 


   2 1

1   2
2  1 2

Como se verá, se puede pasar de una expresión a otra fácilmente.
La respuesta a un escalón de altura U estará dada por

  e  t 1   e  t  2 
2

y t   kU 1  1
 2  1





A mayor factor de dumping la respuesta es más “lenta”.

ILM

2

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

Sistema críticamente amortiguado ( =1,polos repetidos) – Es el caso límite del
anterior. Para una entrada en escalón de altura U la respuesta es

  t  t 
y t   kU 1  1  e  
  

1
0.9
0.8

y/k.deltaU

0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

0

5

10

15

t/tau

Sistema subamortiguado ( < 1, polos complejo conjugados) –

p 

1

1



 2 1
1  2



  j





En este caso, para una entrada en escalón larespuesta es oscilante, y la oscilación será
mayor cuanto menor sea el factor de dumping.




  t 
1
 

y t   kU 1 
e
sin t   


1  2
1  2
1  2

  tan1


Donde

ILM

3

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
Ver „ejem.8.1.sce‟.
Se suelen definir ciertas relaciones para caracterizar la oscilación:
1.8
1.6
1.4

a

1.2

tr

b

1

tp

0.8
0.6

c

0.4

d

0.2
0

0

5

10

15Relación de decaimiento (Decay ratio) : b/a
Overshoot ratio : a/c
Período de oscilación : d
Rise time : tiempo que demora en alcanzar el estado estacionario por primera vez (tr)
Tiempo hasta alcanzar el primer pico (tp)
Respuesta a un pulso de sistemas de segundo orden
Al igual que antes el tipo de respuesta variará según el valor del factor de dumping, o lo
que es igual según los polos.
Sistemasubamortiguado (polos reales) –

1
1

y t   kA
e
2
   1

ILM

t



t 

sinh 1   2 
 


4

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

Sistema críticamente amortiguado (polos repetidos) –

 t t 
y t   kA 2 e  


0.4
0.35
0.3

y/k.A

0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0

0

5

10

15

t/tau

Sistema sobreamortiguado (polos complejos) –

1
1

y t   kA
e
 1   2

ILM

t



t
sin 1   2







5

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
Respuesta a una sinusoide de sistemas de segundo orden
Si la entrada varía sinusoidalmente en el tiempo

ut   A sin t

A
s 2
Y la respuesta de un sistema de segundo orden será
U s  

En el dominio de Laplace

yt  

kA

1      2 
2

2 2

con el ángulo de desfasaje

y la relación de amplitud

2

2

sin  t...