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Discusión: La irracionalidad de:

Hacia el final de su distinguida carrera, el renombrado matemático británico G.H. Hardy elocuentemente expuesto una justificación para una vida de estudio de las matemáticas en la Apología de un matemático, un ensayo publicado por primera vez en 1940. En el centro de la defensa de Hardy es la tesis de que la matemática es una disciplina estética. Para Hardy,las matemáticas aplicadas de ingenieros y economistas celebraron poco encanto. "Matemática real", como se refería a él, "deben justificarse como arte si puede ser justificado en absoluto. "

Para ayudar a hacer su punto, Hardy incluye dos teoremas de la Grecia clásica las matemáticas, las cuales, a su juicio, poseen un tipo escurridizo de belleza que, aunque es difícil de definir, es fácil dereconocer. El primero de estos resultados se Demostración de Euclides de que hay un número infinito de números primos. El segundo resultado es el descubrimiento, atribuido a la escuela de Pitágoras a partir de alrededor de 500 AC, que √ 2 es irracional. Es este segundo teorema que exige nuestra atención. (Un curso de teoría de números se centraría en la primera.) El argumento sólo utilizaaritmética, pero su profundidad e importancia no puede ser exagerada. Como dice Hardy, "[Esto] es un teorema 'simple', simple, tanto en idea y la ejecución, pero no hay ninguna duda en absoluto de [que sea] de la clase más alta. [Esto] es tan fresco y significativo como cuando fue descubierto y dos mil años no han escrito una arruga en
[él]. "

Teorema 1.1.1. No existe un número racional cuyo cuadrado es2

Proof. Un número racional es cualquier número que puede expresarse en la forma p / q, donde p y q son números enteros. Por lo tanto, lo que el teorema afirma es que no importa cómo se eligen p y q, nunca es el caso de que (p / q) 2 = 2. La línea de ataque es indirecta, utilizando un tipo de argumento que se refiere como una prueba por reducción al absurdo.
La idea es asumir que no es unnúmero racional cuyo cuadrado es 2 y a continuación, proceder a lo largo de líneas lógicas hasta que lleguemos a la conclusión de que es inaceptable. En este punto, nos veremos obligados a volver sobre nuestros pasos y rechazar la errónea suposición de que un número racional al cuadrado es igual a 2. En resumen, lo haremos demostrar que el teorema es verdadero, demostrando que no puede ser falsa.
Yasí suponer, por la contradicción, que existen enteros p y q satisfactoria


(1)

También podemos suponer que p y q no tienen ningún factor común, ya que, si tenían uno, podríamos simplemente cancelarlo y volver a escribir la fracción en su mínima expresión. Ahora, ecuación (1) implica

(2)


De esto,podemos ver que el p2 entero es un número par (es divisible por 2), y por lo tanto p debe ser aún así porque el cuadrado de un número impar es impar. Esto nos permite escribir p = 2r, donde r es también un entero. Si sustituimos 2r para p en la ecuación (2), a continuación, un poco de álgebra produce la relación



Pero ahora el absurdo se ha acercado. Esta última ecuación implica que q2 es par, ypor lo tanto q también debe ser par. Por lo tanto, hemos demostrado que p y q son ambos par (es decir, divisible por 2) cuando fueron asumidos originalmente no tener común factor de. A partir de este impasse lógico, sólo podemos concluir que la ecuación (1) no se puede mantenga para cualquier números enteros p y q, y por lo tanto el teorema queda demostrado.

Un componente de la definición deHardy de la belleza en un teorema matemático es que el resultado habría graves consecuencias para una red de otra duración y ideas matemáticas. En este caso, las ideas bajo asalto eran comprensión de los griegos de la relación entre la longitud geométrica y el número de la aritmética.
Antes del descubrimiento anterior, que era un hecho asumido y comúnmente utilizado que, dados dos segmentos AB...