ACFrOgBzNCO536hNlyw3OAIM2uV05Lor0S2bOzFQETpEp9 KIkdUatFaXFxzd0GYL5Wa6Y7yjSN0ErTHJh7dCtpa7_qT98tJpJ0FyRQvrdrVP67VhKaYyToTpdDKfm8

APUNTE-10

ELIPSE
Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano, cuya suma de distancias a dos puntos
fijos, llamados focos, es constante.
Y

Y
p

p´

F

F´

X

B

p

X

F´

F

p´

B´
Fig. 2

Fig. 1

Según la definición, si F y F´ son los puntos fijos en el plano, llamados focos de la elipse, y p es un
punto cualquiera de la elipse, la suma de las distancias pF´ y pF es constante.Si designamos por 2a
a la cantidad constante,
es decir:
F
pF´ + pf = 2a

con

a>0

La recta que une los focos es el eje de simetría de la elipse. Si p´ es el simétrico de p respecto a la
recta FF´, está será la mediatriz del segmento pp´ y se verificarán las siguientes igualdades:
p´F´= pF´ y p´F = pF
de donde:
p´F´+ p´F = 2a
Lo cual demuestra que FF´ es el eje de simetría ortogonal de dichacurva, ver la figura 1.
La mediatriz del segmento determinado por los focos es el eje de simetría de la elipse.
Sea BB´ dicha mediatriz y p´ el simétrico el simétrico de p (fig. 2).
En virtud de la simetría se verifican las siguientes igualdades:
p´F´= pF y p´F = pF´
De donde:
p´F´+ p´F = 2a
De lo anterior se deduce que la elipse es una curva simétrica del punto o. Este punto se llama centro
de laelipse y las rectas que pasan por él se llaman diámetros.

ELEMENTOS DE LA ELIPSE
Y
P(x,y)

B(0,b)
b

L

a

V(a,0)

V´(-a,0)
F´(-c,0)

o

X

F(c,0)

c

2c
L
c

B´(0,-b)






F(c,0) y F(-c,0) se llaman focos.
es el centro de la elipse (es el punto medio de FF´)
FF´, es la distancia focal o eje de simetría (FF´ = 2c).
Los cuatro puntos: V(a,0), V´(-a,0), B(0,b), B´(0,-b), se llaman vértices y sonlos puntos de
intersección de la elipse con los ejes de coordenadas.
 pF´ y pF , se llaman radios vectores del punto p.
 El segmento pc, que une dos puntos cualesquiera de la elipse y pasa por un foco se llama
cuerda focal.
 LL´, es el lado recto (es una cuerda perpendicular al eje de la elipse y que pasa por el foco).
 VV´, son los vértices V´(-a,0) y V(a,0).
 BB´, es el diámetroperpendicular al eje mayor y se llama eje menor (BB´ = 2b).
Comparando las longitudes del eje mayor con el eje menor, se cumple:
2a > 2b o a > b ; a > c
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo BOF, tendremos:
a2 = b2 + c2
La elipse es una curva de segundo grado, porque no puede ser cortada por una recta en más de dos
puntos.
EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE.

El cociente c/a se llama excentricidad de laelipse. Esta magnitud es la razón de la distancia focal
respecto a la longitud del eje mayor y se indica con la letra e:
e = c/a
como c < a, se tiene que e < 1.

Conociendo los semiejes a y b de la elipse, podemos hallar la excentricidad.
de la fórmula a2 = b2 + c2, se tiene: c2 = a2 – b2, c = √𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 ;
Sustituyendo el valor de c en la fórmula anterior, resulta:
e = √𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 / a

o

e=

𝒃

√𝟏 − ()𝟐 ;
𝒂

De la fórmula se deduce: Si b = a, la elipse representa una circunferencia, la excentricidad e = 0 (la
circunferencia es una elipse de excentricidad nula).
Si a es invariable y b disminuye desde cero hasta la unidad; la excentricidad es igual a la unidad
cuando la elipse se transforma en un segmento de la recta VV´.

e=0

e = 0.5

e = 0.7

e = 0.9

e=1

Ecuación canónica de una elipsePara obtener la ecuación canónica o ecuación
reducida de la elipse situemos un sistema de
coordenadas cartesianas con origen O en el punto
medio del segmento FF´ y eje de abscisas en la
dirección de la recta que une los focos. En este sistema
de referencia las coordenadas de los focos son F(c,
0) y F´ (– c, 0). Si ahora P (x, y) es un punto cualquier
de la elipse aplicando la fórmula de la distanciaentre
dos puntos:

[1]

[2]

De [1] y [2] resulta que la relación
[3]
es una condición necesaria y suficiente para que el punto P (x, y) esté situado en la elipse.
Eliminando los radicales después de elevar al cuadrado y simplificar los términos semejantes se
llega a la ecuación

[4]
donde hemos puesto b² = a² – c².

Las coordenadas de todo punto P (x, y) de la elipse satisface la ecuación [4]...