Acotacion

UNIVERSIDAD DE MURCIA
Posgrado de Matemáticas
Máster de Matemática Avanzada

TESIS DE MASTER

EL TEOREMA DE LA ACOTACIÓN UNIFORME

José Jesús Rosell Escolar

Curso 2006-07

Gabriel Vera Boti, Catedrático del Área de Análisis Matemático y Coordinador del Programa de Posgrado de Matemáticas,

INFORMA: Que la Tesis de Master titulada “Teorema de la Acotación
Uniforme” ha sidorealizada por D. José Jesús Rosell Escolar, dentro del Máster de Matemática Aplicada.

En Murcia, a 19 de Septiembre de 2007

Fdo: Gabriel Vera Boti

D. Bernardo Cascales Salinas, Catedrático del Área de Análisis Matemático del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Murcia.

AUTORIZA: La presentación de la Tesis de Máster titulada “Teorema de
la Acotación Uniforme”, realizada por D.José Jesús Rosell
Escolar, bajo mi inmediata dirección y supervisión, dentro
del Máster de Matemática Avanzada.

En Murcia, a 19 de Septiembre de 2007

Fdo: Bernardo Cascales Salinas

Dedicatoria
Dedico este trabajo a mi mujer Mónica, a mi
hija Claudia, y a la memoria de mi madre.

Agradecicmientos
Quisiera agradecer a D. Bernardo Cascales
Salinas toda la paciencia que ha tenidoy su
ánimo en todos los aspectos, es un gran profesor y mejor persona.

Tesis de Master
El teorema de la Acotación Uniforme
José Jesús Rosell Escolar
dirigida por
Bernardo Cascales Salinas

Introducción
En esta memoria estudiamos el Teorema de la Acotación Uniforme de Banach y Steinhaus, que nos permite deducir la equicontinuidad de una familia de funcionales lineales y
continuossi ésta está puntualmente acotada. Hemos estudiado la evolución del Teorema
con los años. Damos distintas demostraciones y algunas notables aplicaciones que ponen
de manifiesto el enorme potencial e importancia de este resultado. Concluimos la memoria recogiendo resultados de un profundo trabajo de investigación, [16], donde se analizan
entre otras cosas posibles mejoras del teorema deBanach-Mackey, íntimamente relacionado con el Teorema de la Acotación Uniforme. Algunos de los resultados presentados
contienen pequeñas aportaciones originales.
El Teorema de Acotación Uniforme fue publicado por primera vez utilizando la técnica del Sliding-Hump creada por Lebesgue, aunque más adelante, en una de las famosas
reuniones en el Café Escocés se demostró con la ayuda del teorema de Baire, deuna
manera más elegante: estas distintas demostraciones están recogidas en la memoria.
Esta memoria esta dividida en cuatro capítulos.
El Capítulo 1 se dedica a unas breves reseñas históricas de Banach e Steinhaus. Nos
ha parecido importante ubicar a los autores del Teorema de la Acotación Uniforme en su
contexto histórico. A la vez, hemos incluido un epígrafe dedicado al Scotish Book,originado por Banach, donde hemos recogido algunos de los problemas allí contemplados que
marcaron el desarrollo del Análisis Funcional durante la segunda mitad del siglo XX: en
particular recogemos los problemas concernientes al Teorema del Punto Fijo de Schauder,
Teoría de la Aproximación y los problemas del Hiperplano y Subespacio Homogéneo de
Banach cuya resolución valió a Gowers la medallaFields en 1998.
En el Capítulo 2 recogemos distintas demostraciones del Teorema de la Acotación
Uniforme. Nuestra idea aquí es ir de los casos particulares a los casos más generales,

•
•
IV

Introducción

explorando a la vez todas las técnicas que han sido utilizadas para demostrar el resultado.
Empezamos con una demostración del Teorema de la Acotación Uniforme en espacios
de Hilbertdonde, junto a la completitud del Hilbert, utilizamos propiedades elementales
del producto escalar: no se necesita en este caso el Teorema de Baire. El Teorema de
Baire es utilizado para demostrar el Teorema de la Acotación Uniforme entre espacios
de Banach y el método del sliding hump se utiliza para la demostración en el caso de
espacios de Fréchet. Acabamos el capítulo estudiando la noción...