Act 9 Trabajo Col

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería

Curso de Ecuaciones Diferenciales ACTIVIDAD 6. TRABAJO COLABORATIVO 1 Número Grupo Colaborativo: 100412_17

Integrantes del Grupo Colaborativo: Wilmer Jiménez Parra. Cód: 11388511 Rubel Jose Beltran Sanabria Cod:11439129 Jerald Arnold Hernández Salamanca Tutor: Ricardo Gómez Fecha: abrilde 2012

OBJETIVOS

GENERAL Evaluar e implementar la teoría vista durante el desarrollo de la Primera Unidad.

ESPECIFICOS Resolver los ejercicios propuestos y que son acordes con los contenidos de la Primera Unidad. Desarrollar habilidades interpersonales para lograr un desempeño más alto en un grupo colaborativo. Desarrollar capacidad de criterio y posición de argumentación frente a loscompromisos adquiridos en el desarrollo del trabajo.

1. Defina de las siguientes ecuaciones diferenciales el orden y linealidad. a) (1 − x)y 0 0 − 4xy 0 + 5y = cos(x) Por ser y 0 0 la derivada de mayor grado, entonces el orden de esta ecuacion diferencial es 2. Linealidad: Si es lineal ya que todas las variables independientes (y) estan elevadas a la 1: y0 0 , y 0 y y, y los coeficientes que lasacompa n˜an todos dependen de x: (1 − x), −4x, 5 y cos(x). b) xy 0 0 0 − 2(y 0 )4 + y = 0 El mayor orden de derivacion de las variables es 3 (y 0 0 0). Linealidad: No es lineal ya que se tiene un diferencial elevado a la cuarta potencia: 2(y 0 )4 . c) sen(x)dy = xy 2 dx Esta es una ecuacion diferencial de primer orden. Linealidad: No es lineal ya que tenemos un coeficiente que no depende de x: xy2 = xyy. 2. Para cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes, verifique que la funcion o funciones indicadas son soluciones. a) x = yLn(C y) es solucion de y 0 (x + y) = y. x Ln(C y) C y0 x0 = y 0 Ln(C y) + y Cy x = yLn(C y) → y = 1 = y 0 Ln(C y) + y 0 1 = y 0 (Ln(C y) + 1) y0 = 1 Ln(C y) + 1

Ahora reemplazamos: y 0 (x + y) = = 1 (x + y) Ln(C y) + 1

x+y Ln(C y) + 1 x x+ Ln(C y) =Ln(C y) + 1 xLn (C y) + x = Ln(C y)(Ln(C y) + 1) x(Ln(C y) + 1) x = = =y Ln(C y)(Ln(C y) + 1) Ln(C y) Luego queda verificado que es la soluci´on. b) e−y − C x = 1 es solucion de xy 0 + 1 = ey e−y − C x = 1

2

C x = e−y − 1 → y = Ln Derivando tenemos: C = −y 0 e−y y0 = − C −y e C )+1 e−y

1 Cx+ 1

Ahora reemplazamos: − xy 0 + 1 = x( =−

xC +1 eLn( C x+1) xC =− +1 (C x + 1) −xC + C x + = 1(C x + 1)

1 L n 1 Cx+ 1 = =e = e−Ln( C x+1) = ey Cx+ 1 c) y = 8 es solucion de y 0 + 4y = 32. y = 8 luego y 0 = 0 de donde : y 0 + 4y = 0 + 4(8) = 32 3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales separables: a) dy xy + 3x − y − 3 = dx xy − 2x + 4y − 8

!

Factorizando tenemos: dy y(x − 1) + 3(x − 1) = dx y(x + 4) − 2(x + 4) dy (y + 3)(x − 1) = dx (y − 2)(x + 4) y− 2 x−1 dy = dx y+ 3x+4 y+ 3− 5 x+ 4− 5 dy = dx y+ 3 x+4 5 5 1− dy = 1 − y+ 3 x+ 4 dx Luego integrando a lado y lado tenemos: y − 5Ln|y + 3| = x − 5Ln|x + 4| + C y = x − 5Ln|x + 4| + 5Ln|y + 3| + C b) (4x + yx2 )dy − (2x + xy 2 )dx =0

3

y(4 + x2 )dy − x(2 + y 2 )dx = 0 y(4 + x2 )dy = x(2 + y 2 )dx y x dy = dx 2 + y2 4 + x2 Integrando a ambos lados (haciendo una sustituci ´on) tenemos: 1 1 Ln( y 2 + 2) = Ln(x2 + 4) + C 2 2 Ln( y 2 + 2) = Ln(x 2 + 4) + 2C y 2 + 2 = (x2 + 4)e2C y 2 = (x2 + 4)e2C − 2 p y = (x2 + 4)e2C − 2 c) x2 y 2 dy = (y + 1)dx y2 dy = dx x2 y+ 1 Integrando a ambos lados tenemos: Ln(y + 1) + y2 1 −y=− +C 2 x

4. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales exactas: a) x+ 2 y dy + ydx = 0

2 Sea M = y y N = x + . Verifiquemos que son exactas: y ∂M =1 ∂y ∂N =1 ∂x Luego si sonexactas. Hallemos una funcion potencia F tal que: ∂F =M ∂x ∂F =y ∂x Integrando con respecto a x tenemos: F = xy + h(y) Luego se debe cumplir que ∂F = x + h0 (y) ∂y ∂F =N ∂y

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Y ya que sabemos cuanto vale x+ 2 = x + h0 (y) y

∂F entonces reemplazamos: ∂y

2 = h0 (y) y Integrando a ambos lados con respecto a y tenemos: h(y) = 2Ln(y) + C Luego F = xy + 2Ln(y) + C b) (2xy 2 + yex )dx + (2x2...