Actividad 3. Máximo y mínimos y gráfica de una función
Páginas: 9 (2031 palabras)
Publicado: 9 de octubre de 2014
Guadalajara, Jal. Septiembre 20 del 2014
Números reales y funciones
Actividad 3. Máximo y mínimos y gráfica de una función
1. Se desea inscribir un cilindro circular recto de volumen máximo dentro de un cono como lo muestra la siguiente figura:
Hallar las dimensiones de dichocilindro.
Volumen del cilindro = ¶ r² h = ¶ r² *( = 2.4 ¶ r² (10 - r)
Si r = 0 o r = 10 entonces v = 0, así el volumen máximo no se encuentra en la frontera
V = 2.4 ¶ (10r² - r³)
Derivando con respecto a r se tiene.
= (2.4 ¶ (10r² - r³) = 2.4 ¶ (20r – 3r²)
La solución 2.4¶r = 0 por lo tanto r = 0
20 - 3r = 0 por lo tanto r ==
Entonces los números críticos de V son r = 0 y r =
Apliquemos ahora el criterio de la segunda derivada
(2.4¶ (20r – 3r²)) = 2.4¶ (20 – 6r) = 2.4¶ (20 – 6) = 2.4 ¶ 20- 40) =
Sutituyendo r por
(2.4¶ (20r – 3r²)) = 2.4 ¶ (20- 40) = - 48¶
El máximo se alcanza en r = cm.
El valor correspondiente para h es igual.
h = ( = ( = 8 cm.
Resumiendo se tiene
El máximose alcanza en r = = 6.666cm.
El máximo alcanza en h = 8 cm
Por lo tanto el volumen máximo del cilindro es.
V = ¶ r² h = ¶ *( *8 = ¶ ¶ 355.55 = 1117.01 cm³
2. Dada la función y el punto hallar el punto sobre la gráfica de que está más cerca de .
Los puntos de la función se expresaran de la siguiente forma. (x, x²-3x)
Y su distancia al punto (5, -5) es:
Cuando secalcula máximos o mínimos de una raíz cuadrada están en la misma coordenada x que los máximos y mínimos de la función sin raíz.
Por lo que se suprime la raíz para hacer este calculo
f(x9 = (x - 5)² + (x² - 3x + 5)²
Derivando la ecuación anterior se tiene
f´(x) = 2(x-5) + 2(x² - 3x + 5) (2x-3) = 0
2(x-5) + 2(x² - 3x + 5) (2x-3) = 0
2x- 10 + 4x³ - 6x² - 12x² + 18x + 20x – 30
4x³-18x² + 40 x – 40 = 0
2x³ - 9 x² + 20x -20 = 0
Aplicando el método de Ruffini para la solución de polinomios.
Por lo tanto los divisores posibles serian ±1, ±2, ±5, ±10
Para x= 1 se tiene 2 - 9 + 20 – 20 = -7
Para x= -1 se tiene - 2 - 9 – 20 - 20 = -7
Para x= 2 se tiene 16 -36 + 40 – 20 = 0
Luego x = 2 es una solución
2 -9 20 -20
24 -10 20
2 -5 10 0
2x² - 5x +10 = 0 por sus características tal parece que no tiene raíces reales, el discriminante es 25 – 80 = - 55 negativo, luego no hay raíces.
Solo x = 2 y puede ser el mínimo.
La derivada segunda es
f´´ (x) = 12 x² - 36 x + 40
f´´ (2) = 48 – 72 + 40 = 16 es positivo luego es un mínimo
Las coordenadas delpunto más cercano son:
(2, f (2)) = (2, 2²-3*2) = 2, -2) por lo tanto el punto cercano a P0 (2, -2)
3. Hallar dos números cuya suma de cuadrados es igual a y cuyo producto sea máximo.
x + y = 100
y = 100 – x
Por lo tanto los dos números son (x, 100-x)
Su producto seria
F(x) = x(100-x) = 100x - x²
Realizando la derivada de la ecuación anterior para obtener el máximo, eigualando a cero
f´(x)= 100-2x = 0
100 = 2x
X = 50
Debe ser un, máximo porque la segunda derivada es negativa.
f´(x)= 100-2x
f´´(x) = -2
El valor de y se calcula de la siguiente manera.
y = 100 – x
y = 50
Por lo tanto los números cuya suma es 100 y su producto sean máximos son
X= 50
Y= 5
4. En un río de de ancho están ubicados dos puntos y uno frente a otro y delmismo lado de hay un tercer punto ubicado a de tal forma que el segmento es perpendicular a . Una compañía de energía eléctrica quiere tender un cable desde hasta parando por el punto , como lo muestra a figura:
Si el costo por metro del cable bajo tierra es más barato que el cable bajo el agua. ¿Cómo se debe tender el cable para que el costo sea mínimo?
AB = 250 m B C = 500m si...
Números reales y funciones
Actividad 3. Máximo y mínimos y gráfica de una función
1. Se desea inscribir un cilindro circular recto de volumen máximo dentro de un cono como lo muestra la siguiente figura:
Hallar las dimensiones de dichocilindro.
Volumen del cilindro = ¶ r² h = ¶ r² *( = 2.4 ¶ r² (10 - r)
Si r = 0 o r = 10 entonces v = 0, así el volumen máximo no se encuentra en la frontera
V = 2.4 ¶ (10r² - r³)
Derivando con respecto a r se tiene.
= (2.4 ¶ (10r² - r³) = 2.4 ¶ (20r – 3r²)
La solución 2.4¶r = 0 por lo tanto r = 0
20 - 3r = 0 por lo tanto r ==
Entonces los números críticos de V son r = 0 y r =
Apliquemos ahora el criterio de la segunda derivada
(2.4¶ (20r – 3r²)) = 2.4¶ (20 – 6r) = 2.4¶ (20 – 6) = 2.4 ¶ 20- 40) =
Sutituyendo r por
(2.4¶ (20r – 3r²)) = 2.4 ¶ (20- 40) = - 48¶
El máximo se alcanza en r = cm.
El valor correspondiente para h es igual.
h = ( = ( = 8 cm.
Resumiendo se tiene
El máximose alcanza en r = = 6.666cm.
El máximo alcanza en h = 8 cm
Por lo tanto el volumen máximo del cilindro es.
V = ¶ r² h = ¶ *( *8 = ¶ ¶ 355.55 = 1117.01 cm³
2. Dada la función y el punto hallar el punto sobre la gráfica de que está más cerca de .
Los puntos de la función se expresaran de la siguiente forma. (x, x²-3x)
Y su distancia al punto (5, -5) es:
Cuando secalcula máximos o mínimos de una raíz cuadrada están en la misma coordenada x que los máximos y mínimos de la función sin raíz.
Por lo que se suprime la raíz para hacer este calculo
f(x9 = (x - 5)² + (x² - 3x + 5)²
Derivando la ecuación anterior se tiene
f´(x) = 2(x-5) + 2(x² - 3x + 5) (2x-3) = 0
2(x-5) + 2(x² - 3x + 5) (2x-3) = 0
2x- 10 + 4x³ - 6x² - 12x² + 18x + 20x – 30
4x³-18x² + 40 x – 40 = 0
2x³ - 9 x² + 20x -20 = 0
Aplicando el método de Ruffini para la solución de polinomios.
Por lo tanto los divisores posibles serian ±1, ±2, ±5, ±10
Para x= 1 se tiene 2 - 9 + 20 – 20 = -7
Para x= -1 se tiene - 2 - 9 – 20 - 20 = -7
Para x= 2 se tiene 16 -36 + 40 – 20 = 0
Luego x = 2 es una solución
2 -9 20 -20
24 -10 20
2 -5 10 0
2x² - 5x +10 = 0 por sus características tal parece que no tiene raíces reales, el discriminante es 25 – 80 = - 55 negativo, luego no hay raíces.
Solo x = 2 y puede ser el mínimo.
La derivada segunda es
f´´ (x) = 12 x² - 36 x + 40
f´´ (2) = 48 – 72 + 40 = 16 es positivo luego es un mínimo
Las coordenadas delpunto más cercano son:
(2, f (2)) = (2, 2²-3*2) = 2, -2) por lo tanto el punto cercano a P0 (2, -2)
3. Hallar dos números cuya suma de cuadrados es igual a y cuyo producto sea máximo.
x + y = 100
y = 100 – x
Por lo tanto los dos números son (x, 100-x)
Su producto seria
F(x) = x(100-x) = 100x - x²
Realizando la derivada de la ecuación anterior para obtener el máximo, eigualando a cero
f´(x)= 100-2x = 0
100 = 2x
X = 50
Debe ser un, máximo porque la segunda derivada es negativa.
f´(x)= 100-2x
f´´(x) = -2
El valor de y se calcula de la siguiente manera.
y = 100 – x
y = 50
Por lo tanto los números cuya suma es 100 y su producto sean máximos son
X= 50
Y= 5
4. En un río de de ancho están ubicados dos puntos y uno frente a otro y delmismo lado de hay un tercer punto ubicado a de tal forma que el segmento es perpendicular a . Una compañía de energía eléctrica quiere tender un cable desde hasta parando por el punto , como lo muestra a figura:
Si el costo por metro del cable bajo tierra es más barato que el cable bajo el agua. ¿Cómo se debe tender el cable para que el costo sea mínimo?
AB = 250 m B C = 500m si...
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