Actividades de la Unidad 1 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

ufeffActividades de la Unidad 1

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS


1) Indique entre las operaciones definidas en :
a) una ley interna asociativa.
b) una ley interna no asociativa.
c) una leyinterna conmutativa.
d) una ley interna no conmutativa.
e) una ley interna distributiva con respecto a la suma y a la resta .
f) una ley interna no distributiva con respecto a la suma y a la resta.g) una operación que no sea ley interna en R.


2) Dado A = {m, p, r} y las operaciones *, y ∑ definidas en él:

*
m
p
r
m
m
m
m
p
m
p
r
r
m
r
p


m
p
r
m
m
p
r
p
pr
m
r
r
m
p


m
p
r
m
m
m
m
p
m
p
r
r
r
r
m

a) verifique que cada una de ellas define una ley de composición interna en A.

b) halle el resultado de:

b.1. ( m * m ) *r
b.2. ( m * r )  p
b.3. ( p  r ) * ( p r )
b.4. ( m  m ) r
b.5. [ ( m * p ) r ]  p



3) Verifique que las siguientes operaciones son leyes de composición interna en Z, Q y .Estudie sus propiedades y elementos notables.

a) a ∞ b = a + b + a .b
b) a * b = a + b + 1
c) a b = 3 . (a + b)


4) Determine en qué caso (A , * ) tiene estructura de grupo:

a) A = {1 , 0 ,-1} a * b = a . b
b) A = {1 , 2 , 4 , 8} a * b = mcm ( a , b )
c) A = { x / x = 2 } * : producto habitual
d) A = { x Z / x  3 } * : adición habitual



5) Analice siconstituyen grupo abeliano. Justifique sus respuestas:

a) ( N , + ) b) ( Z , + ) c) ( Q ,  ) d) (, + ) e) ( ,  )


6) Verifique que (Q - {0} , ) y ( -{0} , ) tienen estructurade grupo abeliano.

7) Determine si el par (G , * ) es grupo :

a) G = { x / x = 2k + 1 } * es el producto ordinario
b) G = { x / x = 3k } * es la adición en Z



8. a) Sea P(x) elconjunto de polinomios con coeficientes reales en la variable x, de grado igual a 3, y el polinomio nulo. Determine si P(x) con la adición de polinomios tiene estructura de grupo.

8. b) Sea P(x) el...