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1.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

1.1 Ecuacion Diferencial de Primer Orden
Una E.D.O. de primer orden esta dada por F (x, y, y ) = 0, en general el conjunto
dy
= f (x) se obtiene integrando
soluci´on de la ecuaci´on
dx
dy
= f (x)
dx
⇐⇒ dy = f (x)dx
⇐⇒

dy =

⇐⇒ y(x) =
Si F (x) =

/

f (x)dx
f (x)dx + c

donde c ∈ R

f (x)dx entonces y(x) = F (x) + c es lasoluci´on general de la E.D.O.

dy
= f (x) con y(x0 ) = y0
dx
Ejemplo: Resolver y = e3x − x.
1.2 Ecuacion Diferencial en Variables Separables
Una E.D.O. de primer orden esta dada por F (x, y, y ) = 0 que puede escribirse
en la forma
f (x)dx + g(y)dy = 0
se llama E.D. en variables separables.
Ejemplos: Resolver las siguientes E.D.O.
1. y + sin(x)y = 0
2. y = y 2 − 4
dy
2x + xy 2
3.
=
dx4y + yx2
1.3 Problemas de Valor Inicial (P.V.I.)
Resolver una E.D.O. sujeta a condiciones iniciales, es resolver la ecuaci´on
F (x, y, y , . . . , y (n) ) = 0
sujeta a las condiciones iniciales
y(x0 ) = y0 ; y (x0 ) = y1 ; · · · ; y (n−1) (x0 ) = yn−1
donde x0 , y0 , y1 , . . . , yn−1 son constantes reales. Este tipo de E.D. reciben el nombre
de P.V.I.
1

Prof. Javier Gonz´alez P.Casos particulares.
1. E.D.O. de 1er orden.

 dy
= f (x, y)
dx
 y(x ) = y
0
0
2. E.D.O. de 2do orden.
 2
 dy
= f (x, y, y )
dx2
 y(x ) = y ; y (x ) = y
0
0
0
1

Ejemplo: Resolver el P.V.I.

1
 dy =
dx
x(1 + ln |x|)

y(1) = 0

con x > 0

1.4 Ecuacion Reducibles a Separables
Una ecuaci´on de la forma y = f (ax + by + c) con b = 0 es posible reducirla avariables separables, usando la sustituci´on
u = ax + by + c =⇒ u = a + by =⇒ y =

u −a
b

reemplazando en la ecuaci´on, se tiene
u −a
du
= f (u) =⇒ u = a + bf (u) =⇒
= dx
b
a + bf (u)
la cual es una ecuaci´on en variables separables.
Ejemplo: Resolver
y =3+

y − 2x + 3

1.5 Ecuaciones Homogeneas
Una funci´on F (x, y) es homogenea de grado 0 si F (x, y) = g( xy ) para alguna
funcionde una variable g
Ejemplo:
y =

1 1 y
x2 + y 2
=
+
2x2
2 2 x
2

2


1.6 Reduccion de una ecuacion homogenea a variables separables
Si y = g( xy ) sea
u=

y
=⇒ y = ux =⇒ y = u + u x
x

luego la ecuacion se escribe
u + u x = g(u) =⇒ u + x

du
du
dx
= g(u) =⇒
=
dx
g(u) − u
x

que es una ecuacion de variables separables.
Ejemplo: Resolver las siguientes E.D.O.
1. y=

x2 + y 2
2x2

y + 2xe−y/x
x
3. 2xy · y − y 2 + x2 = 0

2. y =

1.7 Ecuaciones reducibles a homogeneas
ax + by + c
no es homogenea pero se puede
dx + ey + f
reducir a homogenea mediante un cambio de variable.
Una ecuaci´on de la forma y =

Caso 1: Sean x0 , y0 una solucion del sistema:

ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0

resolviendo para x e y se tiene: x = x0 , y = y0 .Definamos x = x − x0 , y = y − y0
se tiene dx = dx, dy = dy y la ecuacion queda:
y =

ax + by + c
a(x + x0 ) + b(y + y0 ) + c
ax + by
=
=
dx + ey + f
d(x + x0 ) + e(y + y0 ) + f
dx + ey

la cual es una ecuacion homogenea.
Caso 2: Si el sistema de ecuaciones no tiene unica solucion, esto es, si ∆ ≡
ae − bd = 0 entonces la ecuacion es de la forma:
y =

ax + by + c
k(dx + ey) + fecuacion reducible a homogenea, haciendo el cambio de variable u = ax + by.
Ejemplo: Resolver las siguientes E.D.O.
y =

2x + 3y − 5
5x + 4y − 23
3

Prof. Javier Gonz´alez P.
1.8 Modelo de crecimiento de poblaci´
on
Algunos modelos de crecimiento de poblaci´on suponen que la raz´on de cambio
de la poblaci´on en el intervalo t es proporcional al n´
umero y de individuos presentes
enese momento.
Esto conduce a la ecuaci´on
dy
= ky
dt
donde k es la constante positiva si la poblaci´on crece, negativa si decrece.
dy
= ky =⇒ ln |y| = kt + c =⇒ y(t) = ekt+c
dt
Si denotamos por y0 la poblaci´on cuando t = 0 entonces c = y0 de lo cual
y(t) = y0 ekt .
Esta ecuaci´on se conoce como la Ley de Crecimiento Exponencial.
Ejemplo:
La poblaci´on mundial en el a˜
no 1998 era...