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Sea f una función real biyectiva cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f,denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:
f(x) = y\Leftrightarrow{}f^{-1}(y) = x\text{.}\,\!
Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicaciónbiyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:
f^{-1} \circ f = id_i y
f \circ f^{-1}=id_j.
De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra lasiguiente definición alternativa.
Propiedades algebraicas[editar · editar código]



Inversión del orden en la composición de funciones.
La recíproca de la composición de dos funciones viene dadapor la fórmula
(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}
Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendoeste último por medio de g–1 y terminar con f–1,
La recíproca de la recíproca de una función es la propia función:
\left(f^{-1}\right)^{-1} = f
Esta propiedad se deduce de la simetría que hay enlas fórmulas: f^{-1} \circ f = Id_{X} y f \circ f^{-1} = Id_{Y}.
Ejemplos[editar · editar código]

Por construcción misma, la función raíz cuadrada es la recíproca de la función "cuadrada" condominio los reales no negativos, x \rightarrow x^2 Es decir, las dos funciones siguientes son una recíproca de la otra:

\begin{cases} f:\R^+ \to \R^+ \\ x \mapsto x^2 \end{cases} \qquad\begin{cases} g:\R^+ \to \R^+ \\ x \mapsto \sqrt{x} \end{cases} \qquad
f\circ g (x)= g\circ f (x) = x
Más generalmente, la raíz positiva de orden n de un número positivo es la recíproca de la potenciación x\rightarrow x^n.
También por construcción, la exponencial es la recíproca del logaritmo natural.
Por definición misma, arccos, arcsen y arctan son las recíprocas de las funciones trigonométricas...