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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS AREA DE MATEMATICAS ESPACIO ACADEMICO: MATEMÁTICAS I
AUTORES: PLACIDO MONTENEGRO C. LICENCIADO EN MATEMÁTICAS. FABIO H. CALDERÓN R. LICENCIADO EN MATEMÁTICAS. M.SC. EN DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS. CAMILO H. COHECHA T. LICENCIADO EN MATEMÁTICAS. INGENIERO DE SISTEMAS.

TEMA:

FACTORIZACIÓN.

OBJETIVOS: 1. Aplicar los productos notables. 2. Identificar losdiversos casos de factorización y aplicarlos a expresiones algebraicas. TIEMPO. 4 HORAS 1. CONDUCTA DE ENTRADA: 1. Factorizar cada número natural: a. 120 b. 1320 c. 31 2. Hallar el Máximo Común Divisor de cada grupo de números: a. 12, 15, 18.

b. 36, 24, 48, 60. c. 25, 5, 10, 50. 3. a. b. c. d. e. Factorizar: x2 - y2 = 5a2b + 40ab = x3 - y3 = m2 + 8 mn - 16n2= x2 + 8x + 15 = 2. TEMATICA:Factorizar una expresión algebraica significa convertirla en un producto de varias partes, donde cada una de ellas recibe el nombre de factores. Las expresiones algebraicas se han dividido en varios casos para una mejor identificación. Veamos, FACTOR COMÚN MONOMIO Y FACTOR COMÚN POLINOMIO Si debemos factorizar una expresión algebraica lo primero que debemos observar es: si existe un número o una letraque sea común para toda la expresión; éste término va a ser el FACTOR COMÚN de dicha expresión, el cual divide a cada término de la expresión inicial. EJEMPLO 1:

x 2 + 3x = x(x + 3)
EJEMPLO 2:
x(m − n) + y(m − n) = (x + y)(m − n)

EJEMPLO 3: Factorizar

14x2y – 28x3 + 56x4

Hallamos el M.C.D. entre 14, 28 y 56 para lo cual realizamos:
14 2 77 1 28 2 14 2 7 7 1 56 28 14 7 1 2 2 2 7

14= 2.7 28 = 22.7 56 = 23.7 Entonces, el M.C.D. (14,28,56) es: 2.7 = 14 2 Por lo tanto, el factor común de la expresión es: 14x Y la factorización de la expresión 14x2y – 28x3 + 56x4 = 14x 2 (y − 2x + 4x 2 ) FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS En este caso debemos analizar la manera en que debemos agrupar términos con el fin de encontrar, como en el caso anterior, un FACTOR COMÚN. Veamos:
2EJEMPLO 4: Factorizar x + x − xy − y.
2 Agrupemos la expresión de la siguiente manera: (x + x) − (xy + y), cada uno de ellos tiene un factor común, obteniendo entonces la expresión: x(x + 1) − y(x + 1) la cual tiene nuevamente un factor común cuya factorización es: (x − y)(x + 1) 2 El ejemplo anterior se puede agrupar de otra manera: (x − xy) + (x − y). ¿Al factorizar obtenemos finalmente (x − y)(x+ 1) como en la agrupación anterior? Porqué?

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1: Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

1. x 4 y 3 z 2 + 3x 2 y 4 2. nx + x + ny + y − 3n − 3 3. (a − b + c)(y + 4) − (c − a + b)(y + 4) 4. (m − 1)(m + 3) − 3mn(m − 1) 5. mx − nx − my + ny

Enseguida analizaremos los posibles casos que encontramos en binomios.
n n BINOMIO DE LA FORMA a − b

A) Si n = 2tenemos una DIFERENCIA DE CUADRADOS. Debemos recordar que al multiplicar polinomios, el producto (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 . 2 2 Por lo tanto, si tenemos que factorizar el binomio a − b debemos extraer la raíz cuadrada a a y a b , obteniendo a y b respectivamente, las cuales las colocamos dentro de dos paréntesis, uno de ellos con signo positivo entre las raíces y el otro con signo negativoentre ellas, así:
2
2

a 2 − b 2 =(a + b)(a − b)
x2 16

EJEMPLO 5. Factorizar:

− 25y 4

Como la expresión es una DIFERENCIA DE CUADRADOS debemos extraer raíz cuadrada a cada uno de los dos términos y los incluimos en paréntesis de la manera como se indicó en el párrafo anterior. Así
x2 16

x x − 25y 4 =( 4 − 5y 2 )( 4 + 5y 2 )

2 2 EJEMPLO 6: Factorizar (m + x) − 4(x − 3)Supongamos que (m + x) = a y 4(x − 3) = b, entonces es DIFERENCIA DE CUADRADOS. (m + x) 2 − 4(x − 3) 2 = [(m + x) + 2(x − 3) ][(m + x) − 2(x − 3) ] = (m + x + 2x − 6)(m + x − 2x + 6) 2 (m + x) − 4(x − 3) 2 = (m + 3x − 6)(m − x + 6) EJERCICIOS DE APLICACIÓN 2.

Factorizar las siguientes expresiones:

1. m 2x − 16n 4y 2. 9a 2 b 4 c 8 d 10 − 1 2 1 3. 16 − 4x 49
5. 9(m − n) 121(m + n ) 2 25(x+3) 2...