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GUÍA PRINCIPIO MATEMÁTICO
DE INDUCCIÓN COMPLETA











Alumnos:

Andrea Alisson Jaime Olivares
Oscar Eduardo Lavín Ardiles

Profesor:

Sergio Calvo U.

Índice




1. Índice................................................................................................................2

2.Introducción.................................................................................................... 3

3. Teorema de la Inducción matemática y metodología................................ 4

4. Aplicación del teorema de Inducción matemática............................. 5 - 10

5. Ejercicios resueltos.............................................................................. 11 - 22

6.Ejercicios propuestos............................................................................23 - 25
























Introducción



Objetivo :
El principio matemático de inducción completa es un procedimiento que sirve para demostrar un Teorema general, o una fórmula, a partir de casosparticulares.

Tener en cuenta:
La suma de los números impares sucesivos, comenzando con el uno, es igual al cuadrado del número de enteros impares que se suman.
Ejemplo:

1 = 1²
1 + 3 = 2²
1 + 3 + 5 = 3²
1 + 3 + 5 + 7 = 4²4 números impares

Del ejemplo anterior podemos desprender lo siguiente:

1 + 3 + 5 +.........+ (2n – 1) = n²

Siendo n = Entero Positivo.


Atención :
En el ejemplo anterior quizás solo se podrá comprobar con algunos términos, por lo que, otros quedarán fuera de estaproposición. ¡NO! Cualquier ejemplo nos demuestra la propuesta general, y menos debemos considerar que cualquier número de tales ejemplos constituya una prueba de que la fórmula es cierta en todos los casos; es necesario, entonces, disponer de un procedimiento lógico que pueda usarse para establecer la validez de una fórmula propuesta. Elprocedimiento usado para este propósito esta basado en el:
“TEOREMA DE LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA”.
“TEOREMA DE LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA”



Siendo P(n) una proposición asociada con un número natural n. Si P(1) es cierta, y P(k) P(k+1), para un número natural arbitrario k, entonces P(n) es cierta paratoda n.

Se ha hecho ver explícitamente que P(1) es cierta, entonces, tomando k=1, vemos que la implicación general P(k) P(k+1) garantiza la validez de P(2). A su vez P(2) P(3), P(3) P(4), y así sucesivamente, de modo que se concreta una interminable cadena de implicaciones.




METODOLOGÍA



1.Reemplazamos n = 1, de manera que donde esté la letra n reemplazarla por el número 1. Luego debemos resolver el ejercicio para probar que la fórmula es verdadera.


2. Reemplazamos n = k, de manera que la proposición quede con la letra k donde estaba n.


3. Volvemos a reemplazar, pero ahora donde estaba n colocamos k+1; entonces n = k+1.Luego resolvemos la operación con k+1 dejándola lo más reducida posible.


4. Tomamos el último término de P(k+1) y se lo sumamos a P(k), resolviendo luego la operación y posteriormente determinando si hemos llegado al resultado de P(k+1).


APLICACIÓN DEL TEOREMA DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA



La aplicación de este teorema se puede realizar...