ajuste de redes

SISTEMAS LINEALES INCONSISTENTES
Y
AJUSTE DE REDES GPS
RAUL MARQUEZ

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INDICE
página
Introducción …………………………………………………………………3-4
1.- Sistemas de Ecuaciones Lineales Inconsistentes …………………………..5
2.- Valores Propios y Vectores Propios ………………………………………15
3.- Forma Diagonal de una Matriz Simétrica bajo Equivalencia Ortogonal …18
4.- Descomposición en Valores Singulares …………………………………...285.- Mínimos Cuadrados Ponderados…………………………………………..33
6.- Ajuste de Redes GPS………………………………………………………43
- Ecuaciones de Observación para Componentes…………………………...47
- Ecuaciones de Observación para Distancias………………………………48
- Ecuaciones de Observación para Coordenadas……………………………49
- La matriz de los Pesos……………………………………………………..50
- La prueba Chi- Cuadrado………………………………………………….55
- Ajuste Libre yVinculado………………………………………………….57
- La Red Optima…………………………………………………………….57
- Fiabilidad………………………………………………………………….62
- Control de Errores Groseros………………………………………………66
- Fiabilidad Interna…………………………………………………………71
- Fiabilidad Externa………………………………………………………...72
7.- Ajuste de una Red GPS Real……………………………………………75
8.- Diseño Satisfactorio de Redes GPS……………………………………..97
9.-Anexo…………………………………………………………………..107
Bibliografía…………………………………………………………………130

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INTRODUCCION
El ajuste de las redes topogeodésicas y de las redes GPS en particular, requiere del
planteo y solución de sistemas lineales que presentan las siguientes características:
i)
ii)

el número de ecuaciones supera al número de incógnitas
el vector de los términos independientes no pertenece al espacio columna de
la matriz de coeficientes

En virtud de lacaracterística i) estos sistemas lineales son superdeterminados, y por la
ii) son inconsistentes debido a los errores de observación que afectan al vector de
términos independientes, impidiéndole pertenecer al espacio columna de la matriz de
coeficientes.
La inconsistencia del sistema lineal, tiene como consecuencia la imposibilidad de hallar
una solución por los métodos clásicos (la eliminacióngaussiana, por ejemplo). La
solución surge entonces de la aplicación del principio de los mínimos cuadrados de
Gauss, y se llama, precisamente, la solución mínimos cuadrados.
Si la red está vinculada a un número suficiente de constreñimientos externos, la
solución mínimos cuadrados es única, puesto que en ese caso no existe el defecto del
datum y tanto la matriz de coeficientes como la matriz normalresultan de rango
completo. Por el contrario, si la red es libre, el defecto del datum da lugar a que ambas
matrices sean defectuosas de rango y, en consecuencia, existan infinitas soluciones
mínimos cuadrados.
En la sección 1, “sistemas de ecuaciones lineales inconsistentes”, se presenta un método
para hallar la solución óptima; es decir la solución mínimos- cuadrados y mínimanorma, que seobtiene como la proyección de una solución particular sobre el espacio
fila de la matriz normal. Si bien este método tiene valor teórico, no resulta práctico para
programarlo en una computadora.
La sección 2 está dedicada al estudio de ciertas propiedades de los “valores propios y
vectores propios” de las matrices simétricas.
En la sección 3, se describe “la forma diagonal de una matrizsimétrica bajo
equivalencia ortogonal”, que conduce a la pseudoinversa de Moore-Penrose. La
pseudoinversa en cuestión permite hallar la solución óptima en forma directa cual si
fuera una regla práctica, tanto en los casos de rango completo como en los de
deficiencia de rango. La pseudoinversa de Moore-Penrose se construye a partir de los
valores propios y los vectores propios de la matriz normal.En la sección 4 aparece la “descomposición en valores singulares” y su relación con la
forma diagonal bajo equivalencia ortogonal.
La sección 5 se dedica al caso de “los mínimos cuadrados ponderados”, ligados
íntimamente al ajuste de las redes topogeodésicas. La aplicación de la ley general de la
propagación de la varianza-covarianza, da lugar...