Alejandra

CIRCUNCENTRO
Según se vio en la lección anterior, cualquier punto de la mediatriz de un lado de un triángulo equidista de los vértices que definen dicho lado. Luego si llamamos O al punto de intersección de las mediatrices de los lados AB y BC , por la propiedad anterior, el punto O equidista de los vértices A y B (por estar en la mediatriz de AB) y de los vértices B y C (por estar en lamediatriz de BC). Luego equidista de A , B y C .
Al equidistar de los tres vértices del triángulo, en particular, equidista de A y C, lo que demuestra que también estará en la mediatriz del lado AC y, además, será el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.
De lo anterior, concluimos:
1. Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, quedenotaremos por O, y que recibe el nombre de CIRCUNCENTRO.
2. El punto de corte de las tres mediatrices es el CENTRO de un circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, que llamaremos circunferencia circunscrita.
Observa el circuncentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.
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INCENTRO
Según se vio en la lecciónanterior, cualquier punto de la bisectriz de un ángulo de un triángulo equidista de los lados que definen dicho ángulo. Luego si llamamos I al punto de intersección de las bisectrices de los ángulos A y B, por la propiedad anterior, el punto I equidista de los lados AB y AC (por estar en la bisectriz de A ) y de los lados AB y BC (por estar en la bisectriz de B). Luego equidista de los lados AB , BC yCA..
Al equidistar de los tres lados del triángulo, en particular, equidista de CA y CB, lo que demuestra que también estará en la bisectriz del ángulo C y, además, será el centro de una circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo.
De lo anterior, concluímos:
1. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por I, y que recibe el nombrede INCENTRO.
2. El punto de corte de las tres bisectrices es el CENTRO de un circunferencia tangente a los tres lados del triángulo, que llamaremos circunferencia inscrita.
Observa el incentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.
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BARICENTRO

Las tres medianas de un triángulo, al igual que ocurría con las mediatricesy bisectrices, se cortan en un ÚNICO punto, que llamaremos BARICENTRO.
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Como puedes ver en los dibujos anteriores, no hay diferencias significativas en la situación del baricentro, dependiendo del tipo de triángulo (rectángulo, acutángulo u obtusángulo). En cualquier triángulo, el baricentro siempre es interior al mismo, más aún, es el centro de gravedad del triángulo y sedenotará por G.

Propiedad 13:

"El baricentro de un triángulo, es un punto interior al mismo, que dista el doble de cada vértice que del punto medio de su lado opuesto"
Sin entrar en la demostración, que se sale fuera de los objetivos de este curso, sí que lo veremos gráficamente en los tres casos: triángulos rectángulos, acutángulos y obtusángulos, respectivamente.
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Se han denotadopor A', B', C', los puntos medios de los lados "a "=BC, "b "=AC y "c "=AB, respectivamente, y se ha señalado el punto medio de las distancias del baricentro a cada vértice, mediante un punto negro sin etiquetar.
A la vista de los anterior, se observa que:
|GA = 2[pic]GA' |(la distancia de Baricentro al vértice A es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado"a"=BC) |
|GB = 2[pic]GB' |(la distancia de Baricentro al vértice B es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "b"=AC ) |
|GC = 2[pic]GC' |(la distancia de Baricentro al vértice C es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "c"=AB ) |


ORTOCENTRO

Consideremos un triángulo de...