Algebra booleana. Axiomas y postulados.

Axiomas

(A1) X = 0 si X NO ES 1 (A1’) X=1 si X NO ES 0
(A2) SI X=0 ENTONCES X’=1 (A2’) SI X=1 ENTONCES X’= 0
(A3) 0 * 0 = 0 (A3’) 1 + 1 = 1
(A4) 1 * 1 = 1 (A4’) 0 + 0 =0
(A5) 0 * 1 = 1 * 0 = 0 (A5’) 1 + 0 = 0 + 1 = 1

Teoremas del álgebra booleana con una variable

Dados los axiomas anteriores, podemos demostrar los teoremas descritos en la siguiente tabla,pues una variable X solo puede tener dos valores diferentes 0 y 1 (inducción perfecta). El teorema será verdadero si se cumple para ambos valores de la variable.

(T1) X + 0 = X (T1’) X * 1 = XIDENTIDAD O TAUTOLOGICAS
(T2) X + 1 = 1 (T2’) X * 0 = 0 ELEMENTOS NULOS
(T3) X + X = X (T3’) X * X = X POTENCIA IDÉNTICA O IDENTIDAD
(T4) ( X’ )’ = X INVOLUCIÓN ó DOBLE COMPLEMENTO
(T5)X + X’ = 1 (T5’) X * X’ = 0 COMPLEMENTOS

Teoremas del álgebra booleana de dos y tres variables

En los teoremas de dos y tres variables, también se aplica la inducción perfecta, pero ahoratambién se debe tomar en cuenta que con dos variables X, Y, se tienen cuatro combinaciones. Con tres variables X, Y, Z debemos considerar ocho combinaciones. Encontramos teoremas que son idénticos alas leyes asociativa, conmutativa y distributiva de la suma y multiplicación en números enteros y reales.

(T6) X + Y = Y + X (T6’) X * Y = Y * X CONMUTATIVIDAD
(T7) (X + Y) + Z = X + (Y + Z)(T7’) (X * Y) * Z = X * (Y * Z) ASOCIATIVIDAD
(T8) X*Y + X*Z = X * (Y + Z) (T8’) (X + Y )*(X + Z) = X + Y*Z DISTRIBUTIVIDAD
(T9) X + X * Y = X (T9’) X * (X + Y) = X ABSORCIÓN O REDUNDANCIA(T9) X+(X’*Y) = X+Y X*(X’+Y) = X*Y
(T10) X * Y + X * Y’ = X (T10’) (X + Y) * (X + Y’) = X COMBINACIÓN


Teoremas de De Morgan

(T11) (X * Y )’ = X’ + Y’
El complemento de unproducto de variables es igual a la suma de los complementos de las variables. Este teorema nos demuestra el hecho de que una compuerta NAND es lo mismo que invertir las entradas de una compuerta OR....