algebra de vectores


Unidad 1

Algebra de vectores.




1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su Interpretación geométrica.




Un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud. La palabra vectores se refiere a los elementos de cualquier Rn. En R1 = R el vector es un punto, que llamamos escalar. En R2 el vector es de la forma (x1,x2) y en R3 el vectores de la forma (x1,x2,x3)


En R2:

La suma de dos vectores se define por: sean a y b vectores en R2, entonces

a + b=(a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2)


El producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R2, entonces:

aa=a(a1,a2)=(aa1,aa2).




Significado geométrico de la suma de vectores y el producto escalar en R2. (fig. 1.1)


(a1+ b1, a2+ b2)





Observemos que si a = (a1,a2) y b = (b1,b2), entonces la suma de los vectores

a + b = ( a1,a2) + (b1,b2) = (a1+b1,a2+b2)

El cual se obtiene trasladando la representación de los vectores a y b. De manera, que se puede obtener a + b dibujando un paralelogramo. A esta regla de suma se le llama la regla del paralelogramo. (fig. 1.2)αa


a







Fig.1.2



Para el producto escalar αa, se puede observa que si a > 0 se alarga o se acorta el vector a por un factor α. Si a < 0 se invierte la dirección del vector a.

En R3:

La suma de vectores se define por: sean a, b Є R3, entonces


a + b = (a1,a2,a3)+(b1,b2,b3)=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)



El producto escalar se definepor: sea α Є R y a un vector en R3 , entonces
aa = a (a1,a2,a3) = (a a1, a a2, aa3).





Definición: Sean a y b vectores en Rn, tal que a = (a1,a2,a3,…..an) y b = (b1,b2,b3….bn).
El producto interno de a y b representado por a ∙ b ó , es el escalar que se obtiene multiplicando los componentes correspondientes de los vectores y sumandoluego los productos resultantes, esto es:
a *b = = ( a1 * b1 +a2 *b2 +a3*b3+…+an*bn).
Los vectores a y b se llaman ortogonales si su producto interno es igual a cero.

Definición: Sea a = (a1,a2,a3...,an) un vector en Rn,la norma (magnitud o longitud)
Del vector representada de la forma │a│ ó ║a ║, se define como la raíz cuadrada no
:



2 2 2 2a  a 
a  a 
a1  a2  a3  ...  an



1.2 Introducción a los campos escalares y vectoriales.

Campo:

Si se asigna a cada punto del espacio el valor de una función unívoca de punto, se dice que este espacio, como base o soporte de dicha magnitud, es un campo. (fig. 1.3)

Si la magnitud es escalar hablamos de un campo escalar.

Si la magnitud es vectorial hablamos de uncampo vectorial.

En general tanto los campos escalares como los vectoriales son función del punto y del tiempo. Cuando los cambios no dependen del tiempo se dice que son estáticos o estacionarios.

Los campos escalares se visualizan mediante las superficies de nivel o iso-escalares, que son el lugar geométrico de los puntos del espacio para los cuales la función escalar toma el mismovalor, por ejemplo:



Cuando estas superficies se cortan por un plano se convierten en las llamadas curvas de nivel o isoescalares, que según la magnitud física que representan reciben un nombre particular: las isotermas se definen por:



Las isóbaras se definen por:






















fig. 1.3

Los campos vectoriales representan magnitudes de caráctervectorial: A(X,Y,Z,T). Entre estos cabe citar el campo de velocidades en un fluido V(x,y,z,t) De manera análoga a los campos escalares, se dice que un campo vectorial es
Estacionario cuando la magnitud característica del mismo no es función del tiempo, como por ejemplo el gravitatorio: g (x,y,z) y el electrostático: E (x,y,z)

Entre los campos...