Algebra (Ejercicios)

AXIOMAS DE NUMEROS REALES
TEORIA DE EXPONENTES
ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES EXPONENCIALES





El sistema de los números reales es un conjunto no vacío denotado por ( con dos operaciones internas llamadas:
1) Adición (+) : ( (a,b) = a+b
2) Multiplicación (.) : ( (a,b) = a.b
y una relación de orden “ 0)
b). P.A. Decreciente (razón < 0)




Propiedad 1.-En toda P.A. de “n” términos y razón “r” el último término es igual al primero más (n-1) veces la razón, es decir :

an = a1 + (n – 1) r

DEMOSTRACION
Sea la progresión aritmética
÷ a1 . a2 . a3 ......... an-2 . an-1 . an
Por definición sabemos que :

ak = ak-1 + r K = 2, 3,4,....n
Expandiendo :
a1 = a1
a2 = a1 +r
a3 = a2 +r
a4 = a3 +r
. (n-1) veces
.an-2 = an-3+r
an-1 = an-2+r
an = an-1+r
an = a1 + r + r+......+r

( an = a1 + ( n – 1) r
Propiedad 2.- En toda P.A. de razón “r” y “n” términos:
÷ a1 . a2...... ap......aq.....an-1.an
el término de lugar “q” en función del término de lugar “p” está formulada por:
aq = ap + (q – p) r

Propiedad 3.- En toda P.A. de “n” términos y razón “r”, un término cualquiera que ocupeel lugar K-ésimo contado a partir del extremo final es igual al último término menos (k-1) veces la razón, es decir:

ak = an – (k – 1) r

Propiedad 4.- En toda P.A. de “n” términos y razón “r”, la suma de los términos equidistantes de los extremos es una cantidad constante e igual a la suma de los extremos, es decir :

÷ a1, a2...... ap...........aq.....an-1.an
“p” términos“p” términos

Se cumple que

ap + aq = a1 + an

DEMOSTRACION
Dado que “ap” y “aq” equidistan de los extremos.
ap = a1 + (p-1) r .............. (()
aq = an - (p-1) r .............. (ß)

Sumando miembro a miembro (() y (ß) obtenemos :

ap + aq = a1 + an l.q.q.d.

Ejemplo : En la P.A.
÷ 7. 12 . 17 . 22 . 27 . 32 . 37 . 42.
Se observa que :


÷ 7 . 12 . 17. 22. 27. 32. 37. 42

a1+ an = 12+37= 17+32 = 22+27=49

Propiedad 5.- En toda P.A. de un número impar de términos, el término central “ac” es igual a la semisuma de los términos equidistantes de los extremos e igual a la semisuma de los extremos.
En la P.A. de “n” términos y razón “r”, cuyo esquema es

÷ a1 ___ ap ___ ax.ac.ay ___ aq ___ an


ac = término central
Se cumple que :

[pic]

Ejemplo : En laP.A.

÷ 8 . 12 . 16 . 20 . 24 . 28 . 32

ac = 20
Se cumple que :
[pic]

Propiedad 6.- En toda P.A. de tres términos, el término central es la media aritmética de los extremos.
En la P.A.
÷ x. y. z
Se cumple que : [pic]
Propiedad 7.- La suma de los “n” primeros términos de una P.A. de razón “r”.
÷ a1 . a2 ……............…... an-1 . an
es igual a la semisumade los extremos multiplicado por el número de términos, es decir:

[pic]

DEMOSTRACIÓN
En la progresión aritmética.
÷ a1. a2 …………………............ an-1 . an
La suma de los “n” primeros términos es :
Sn = a1+a2 ..........+ an-1+an ......... (()
ó
Sn = an+an-1 ........ +a2 +a1 .......... (ß)
Sumando miembro a miembro

[pic]
Como la suma de los términos equidistantes es una cantidadconstante e igual a la suma de los extremos.

[pic]
[pic] L.q.q.d.

De otro lado, como :
an = a1 + (n-1)r

[pic]

Propiedad 8.- En toda P.A. de un número impar de términos y término central “ac”, la suma de sus “n” términos está dado por :

Sn = ac . n ; n (#impar)




Interpolar “m” medios diferenciales entre los extremos “a1” y “an” de una progresión aritmética, es formar laprogresión. En efecto para la P.A.


÷ a1 .............................. an
“m” medios

Los datos conocidos son :

Primer término : a1
Último término : an
Número de términos : n = m + 2

El elemento a calcular es la razón : r

De la fórmula : an = a1 + (n –1) r

Como : n = m + 2 ( an = a1 + (m+1)r

Obtenemos: [pic]

Conocida la razón ya es posible interpolar o...