Alige Rel Problemas 2013 2014

´
ALGEBRA
LINEAL
Primer curso del Grado de Estad´ıstica
Curso 2013-2014

1.

Sistemas de ecuaciones lineales

Ejercicio 1 Use eliminaci´on gaussiana con sustituci´on hacia atr´as para resolver


+x2
+x3 = 1
−x2
 x1
 2x1
x1 +2x2 +2x3 = 1 , b)
−x1 +2x2 −x3
a)


x1 +2x2 +3x3 = 1
−x2 +x3


x
+x
+x3

1
2

4x2 −3x3 = 3


x1
+x2 +3x3
−x1 +7x2 −5x3 = 4
c)
d)
x1
+x2 +2x3



−x1 +8x2 −6x3 =5

x1 +3x2 +3x3

Ejercicio 2 Consideremos los tres sistemas donde los coeficientes son
diferentes:
4x −8y +5z = 1 0
4x −7y +4z = 0 1
3x −4y +2z = 0 0

los siguientes sistemas:
=0
=0 ,
=1
+x4
+3x4
+3x4
+3x4

=1
=3
=3
=4

los mismos pero los t´erminos a la derecha son
0
0
1

Resuelva los tres sistemas a la vez realizando eliminaci´on gaussiana sobre una matriz de la forma
A b1

b2

.

b3

Ejercicio3 El siguiente sistema no tiene soluci´
on:
−x1
−x1
−x1

+3x2
+4x2
+5x2

−2x3
−3x3
−4x3

=1
=0
=0

Intente resolverlo mediante eliminaci´on gaussiana y explique qu´e ocurre para que el sistema no se pueda resolver.
Ejercicio 4 Intente resolver el sistema
−x1
−x1
−x1

+3x2
+4x2
+5x2

−2x3
−3x3
−4x3

=4
=5
=6

mediante eliminaci´on gaussiana y explique por qu´e el sistema tiene infinitassoluciones.
Ejercicio 5 Use eliminaci´on gaussiana para resolver simult´aneamente los sistemas
−x1
−x1
Ejercicio 6 Aplique eliminaci´on de Gauss
incompatible) en los siguientes casos:

−x2

2x1 +3x2

2x1
+x2

4x2
+7x2
+8x2

−3x3
−5x3
−6x3

= 2
= 0
= 1

−1
1
1

para determinar el tipo de sistema (compatible, compatible determinado,
−x3
−2x3
−4x3


= 3,  3x1
= −1, ,
−x1

= 5,
2x1

−2x2
+x2
−x2

+x3
−x3= 1,
= 1,
= 3.

Ejercicio 7 Mediante la resoluci´on de un sistema de 3 ecuaciones con 3 inc´ognitas, calcule los coeficientes de la
ecuaci´on de una par´abola y = α + βx + γx2 que pasa por los puntos (1, 1), (2, 2) y (3, 0).
Ejercicio 8 Mediante la resoluci´on de un sistema de 4 ecuaciones con 4 inc´ognitas, calcule los coeficientes de la
ecuaci´on de un polinomio y = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 degrado tres que pasa por los puntos (0, 6), (−2, 1), (3, 1) y
(4, 0).
1

#3

#4

#2

#1

Figura 1:
Ejercicio 9 Calcule un polinomio p(x) de grado 3 tal que p(0) = −1, p′ (0) = 5, p(1) = 3, p′ (1) = 1.
Ejercicio 10 Supongamos que 100 insectos se distribuyen en una c´amara que consta de 4 habitaciones con pasajes
entre ellos tal como aparece en la figura 1. Al final de un minuto, los insectos sehan redistribuido. Supongamos que
un minuto no es bastante tiempo para que un insecto visite m´as de una habitaci´on y al final de un minuto el 40 %
de los insectos de cada habitaci´on permanece en ella. Los insectos que la abandonan se distribuyen uniformemente
entre las dem´as habitaciones que son accesibles desde la que ocupan inicialmente. Por ejemplo, desde la habitaci´
on 3,
la mitad de losque se mueven van a 2 y la otra mitad a 4.
1. Si al final de un minuto hay 12, 25, 26 y 37 insectos en las habitaciones 1, 2, 3 y 4, respectivamente, determine la
distribuci´on inicial.
2. Si la distribuci´on inicial es 20, 20, 20 y 40, ¿cu´al es la distribuci´on al final de un minuto?
Ejercicio 11 Use el m´etodo de Gauss-Jordan para resolver a la vez los tres sistemas
4x2
+7x2
+8x2

−x1
−x1Ejercicio 12 Use el m´etodo de Gauss-Jordan

x1 +



x1 +
 x1 +


x1 +

−3x3
−5x3
−6x3

= 1
= 0
= 0

0 0
1 0
0 1

para resolver el sistema
x2
2x2
2x2
2x2

+
+
+
+

x3
2x3
3x3
3x3

+ x4
+ 2x4
+ 3x4
+ 4x4

=
=
=
=

1,
0,
5,
0.

Ejercicio 13 Resuelva el siguiente sistema mediante Gauss-Jordan:
2x1
2x1

+4x2
+3x2
+7x2

+3x3
+9x3
6x3

+2x4
+x4
+7x4
+5x4

=
6,
=
4,
=
8,
= −4.

Ejercicio 14 Resuelva elsiguiente sistema mediante Gauss-Jordan:
x1
2x1
−x1
3x1

−x2
+x2
+2x2

+2x3
−2x3
−4x3
−3x3

−x4
+2x4
+x4

=
=
=
=

−1,
−2,
1,
−3.

Ejercicio 15 Use el m´etodo de Gauss-Jordan para resolver a la vez los tres sistemas
2x1
−x1

−8x2
+2x2
−x2

−x3
+x3
2

=1
=0
=0

0
1
0

0
0
1

Ejercicio 16 Discuta el sistema de ecuaciones

 x1
2x1

−x1

−x2
−x2
−x2

+3x3
+3x3
+ax3

=
4,
=
2,
= a2 − 1.

en...