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UNIDAD IV: ESPACIOS VECTORIALES
4.1 Definición de espacio vectorial y sus propiedades.


Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: escalarse (multiplicarlos por un escalar) y sumarse. Estas dosoperaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio elucídelo. Un concepto importante es el de dimensión.



Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas. La primeraformulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo teneren cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y complicada.

4.2 Definición de subespacio de un espacio vectorial y sus propiedades.

Subespacio vectorial
Definición
Sean (V,+,K,*) un espacio vectorial y S un subconjunto de V. S es subespacio vectorial de V si(S,+,K,*) es espacio vectorial en sí mismo, siendo + y * las mismas operaciones definidas en V.
Criterio de subespacio El criterio para la verificación de que S es subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.
Propiedades
Un espacio vectorial es unconjunto no vacío que cumple con estas tres condiciones:
1) El Punto Origen pertenece al conjunto. Ej: (0,0,0)
2) Sea K un número real y {v} un vector que pertenece al conjunto entonces K.v también pertenece al conjunto.
3) Sean {u} y {v} dos vectores que pertenecen al conjunto entonces u+v también pertenece al conjunto.
Si estos tres axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.4.3 Combinación lineal. Independencia lineal.

INDEPENDENCIA LINEAL

En el estudio de álgebra lineal, una de las ideas centrales es la dependencia o independencia lineal de los vectores.

DEFINICIÓN
Dependencia e independencia líneal sean v1, v2, ..., vn, n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son lineamientos dependientes si existen n escalaresno todos cero tales que
C1 v1 + c2 v2 + ... cnvn = 0

Si los vectores no son lineamientos dependientes, se dice que son lineamientos independientes.

TEOREMA 1
Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y sólo si uno es un múltiplo escalar del otro.

TEOREMA 2
Un conjunto de n vectores en Rm siempre es linealmente dependiente si n>m.

TEOREMA 3A=


Entonces las columnas de A, consideradas como vectores, son linealmente dependientes si y solo si el sistema , que se puede escribir como Ac = 0, tiene soluciones no triviales.

TEOREMA 4
Sean v1, v2, ..., vn, n vectores en Rn y sea A una matriz de n*n cuyas columnas son v1, v2, ..., vn. Entonces v1, v2, ..., vn son linealmente independientes si y sólo si la única solución alsistema homogéneo Ax= 0 es la solución trivial x=0.

TEOREMA 5
Sea A una matriz de n*n. Entonces det A = 0 si y solo si las columnas de A son linealmente independientes.

TEOREMA 6
Cualquier conjunto n vectores linealmente independientes en Rn genera a Rn
EJEMPLO
Dos vectores linealmente dependientes en R4







Los vectores v1= y v2= son linealmente...