Alumno

Trabajo Práctico
De
Matemáticas Nª 2

Fecha de entrega:
Temas: Fractales y Grafos.















Fractales:
Ubicación Histórica y Exponentes Principales:
En 1975 Benoit Mandelbrot en Francia  publicó un ensayo titulado” Los objetos fractales: forma, azar y dimensión” (en francés). En la introducción comentaba los conceptos de objeto fractal y fractal como términos quehabía inventado a partir del adjetivo latino “fractus” (roto, fracturado). Posteriormente, en 1982, publicó el libro “The Fractal Geometry of Nature”, en donde proponía: “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”
Conceptos básicos:
Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada oirregular, se repite a diferentes escalas.
La definición de fractal en los años 1970, dio unidad a una serie de ejemplos, algunos de los cuales se remontaban a un siglo atrás. A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:2
Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
Es autosimilar, su forma es hecha de copias más pequeñas de lamisma figura.
Las copias son similares al todo: misma forma pero diferente tamaño. Ejemplos de autosimilaridad:
Fractales naturales, son objetos naturales que se pueden representar con muy buena aproximación mediante fractales matemáticos con autosimilaridad estadística. Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencian de los fractales matemáticos porque los naturales son aproximados oestadísticos y su autosimilaridad se extiende sólo a un rango de escalas (por ejemplo a escala cercana a la atómica su estructura difiere de la estructura macroscópica).
Conjunto de Mandelbrot, es un fractal autosimilar, generado por el conjunto de puntos estables de órbita acotada bajo cierta transformación iterativa no lineal.
Paisajes fractales, este tipo de fractales generadoscomputacionalmente pueden producir paisajes realistas convincentes.
Fractales de pinturas, se utilizan para realizar el proceso de decalcomania.
Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
No basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera unfractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.
Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras3 o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetosfractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

Ejemplos:
Algunos de los fractales más conocidos son:
El Conjunto de Cantor:

Este conjunto se puede recrear tomando una línea, dividiéndola en tres partes iguales y quitando la parte central, después de esto se vuelve a hacer lo mismo con las líneas que nos quedan y se sigue haciendo hasta que te aburres o llegasal infinito.
K
E
N
0
1
1
1
1/3
2
2
1/9
4
K


K = Nº de interacciones necesarias
E = Tamaño del instrumento de medida
N = Nº de veces que se usa E

El cálculo de las dimensiones sería el siguiente:

Usando las propiedades fundamentales le los Logaritmos no queda así:

Si simplificamos:

Y la resolución es la siguiente:
Con lo que llegamos a la conclusión de que ladimensión el conjunto de Cantor no llega a la 1ª, siendo esta de 0,6309.
Ahora continuamos con la curva de Koch:

Podemos recrear este conjunto de una manera muy sencilla: tomamos una línea y la dividimos en tres segmentos iguales, se elimina la parte central y se sustituye por dos segmentos de una longitud que sea igual a un tercio de la línea original obteniendo así cuatro segmentos, se...