AM C Hoja2 1

´ DE MATEMATICAS
´
AMPLIACION
Series y Transformadas de Fourier de funciones
1.- Calcula el periodo de las funciones sen ax, cos ax y de eiax .
2.- Comprueba que las siguientes familias de funcionesson ortogonales en los dominios que
se indican:
a) {cos nx, sen nx}n≥0 en [−π, π]
b) {einx }n∈Z en [−π, π]
c)Las familias {cos nx}n≥0 y {sen nx}n≥1 en [0, π].
(*)3.- Sea f una funci´on peri´odica deperiodo T y continua en [0, T ], salvo quiz´as en una
cantidad finita de puntos. Prueba que:
α+T

T

T /2
−T /2

f (t)dt

f (t)dt =

f (t)dt =

α

0

para todo α ∈ R.
4.- Sea f ∈ C[−π, π] funci´on2π-peri´odica y derivable. Prueba que si f es par (e.d. f (−x) =
f (x)), entonces se puede escribir:
∞

a0
f (x) =
+
an cos nx.
2
n=1
∞

bn sen nx, si f es impar (e.d. f (−x) = −f (x)).

Y por f (x) =
n=15.- Halla las series de Fourier, sobre [−π, π], de las funciones:
a) f (x) = |x|
b) f (x) = cos3 x
c) f (x) = ex
d) f (x) = | sen x|

e) f (x) = sen5 x.

(*)6.- Sea (xn ) una sucesi´on num´ericaconvergente a un n´
umero x. Sea
x1 + x2 + ..... + xk
, k ∈ N,
k
la sucesi´on de medias C´esaro de (xn ). Prueba que la sucesi´on (τk ) converge a x.
(El Teorema de Fejer asegura que la sucesi´on demedias C´esaro de una serie de Fourier de
una funci´on continua 2π-peri´odica converge uniformemente a dicha funci´on).
τk =

7.- Para cada una de las funciones siguientes, en los intervalos que seindican,
a) Dibuja su gr´afica
b) Justifica la existencia de un desarrollo de Fourier.
c) Calcula sus coeficientes de Fourier.
1) f (x) = x2 , x ∈ [−π, π] 2) f (x) = |x|, x ∈ (−π, π) 3) f (x) = | sen x|, x ∈(−π, π)
4) f (x) = x, x ∈ (−π, π) 5) f (x) = x, x ∈ (0, 2π) 6) f (x) = x2 , x ∈ (0, 2π)
7) f (x) = x(π − x), x ∈ [0, π]

8.- Utilizando los resultados del ejercicio anterior deduce:
a partir de 1)el valor de
∞

n=1

1
,
n2

∞

n=1

(−1)n−1
,
n2

∞

n=0

∞

1
,
(2n + 1)2

n=1

1
,
n4

∞

n=1

1
;
(2n + 1)4

a partir de 2, el valor de
∞

n=1

a partir de 7, el valor de

1
,
n2
∞

n=0

∞

n=1...