Análisis De La Respuesta En Frecuencia

TAREA Nª 1 ANALISIS DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA

PROBLEMA #1
Utilizando Matlab, trazar el diagrama polar y encuentre el MG y el MF . mediante el método calculado encuentre MG y MF. Explicar los signos de los MG y MF.
GsHs=2.25s2+14
SOLUCION
Desarrollando la Función de Transferencia:
GsHs=2.25s2+14=2.250.0625s4+0.5s3+1.5s2+2s+1
Determinamos el Margen de Ganancia y de Fase con elDiagrama de Bode, en MATLAB:

Determinamos el Margen de Ganancia y de Fase con el Diagrama Polar de Nyquist:
Margen de Ganancia: Para hallar el Margen de Ganancia debemos recordar que es el inverso de Gjω.Hjω cuando Gjω.Hjω es -1800, centrándonos en el Diagrama de Nyquist se daría cuando nuestra función de transferencia solo posea parte real y no imaginaria ya que se encuentra desfasada-1800.
GsHs=2.25s2+14=2.250.0625s4+0.5s3+1.5s2+2s+1
GjωHjω=2.250.0625jω4+0.5jω3+1.5jω2+2jω+1
GjωHjω=2.250.0625ω4-1.5ω2+1+j-0.5ω3+2ω

Ahora hacemos: -0.5ω3+2ω=0

Obteniendo: ω=2,-2 y 0
Luego digitando en mat lab

Luego de digitar obtenemos la siguiente grafica

Finalmente en el Diagrama de Nyquist observamos quepara ω=2 su parte real es -0.564
De la definición, obtenemos el Margen de Ganancia como.
⟹1mg=-0.564 ⟹mg=1.7731
Por lo tanto: MG=20log1.7731=4.9747dB≈5dB

Margen de Fase: Es el ángulo que le falta a Gjω.Hjω para llegar a -1800 cuando Gjω.Hjω es 1 (0dB), el cual se puede calcular como la división entre la parte imaginaria y real del puntoque se encuentra en la intersección de un círculo de radio 1 que parte del origen y la gráfica de Nyquist:

Luego:
MF=tan-1-0.56-0.7=38.65980

* Calculo Matemático del margen de Fase y de Ganancia
Margen de Fase: Es el ángulo que le falta a Gjω.Hjω para llegar a -1800 cuando Gjω.Hjω es 1 (0dB).
GsHs=2.25s2+14

Gjωf.Hjωf=2.25jωf2+14=1 ⇒ 2.25jωf22+14=2.25ωf24+12=1∴ ωf=1.4146
Gj1.4146.Hj1.4146=2.25j1.41462+14=-141.0872

∴MF=180-141.0872=38.91280

Margen de Ganancia: Es el inverso de Gjω.Hjω cuando Gjω.Hjω es -1800
Gjωg.Hjωg=2.25jωg2+14=-180
∴ ωg=2
Gj2.Hj2=2.25j22+14=0.5625 ⇒ Kg=10.5625=1.7778
∴MG=20log1.7778=4.9975dB≈5dB

PROBLEMA #2
Utilizando Matlab, trazar el diagrama polar y encuentre el MG y el MF . mediante el métodocalculado encuentre MG y MF. Explicar los signos de los MG y MF.
GsHs=s+12s3

Desarrollando la Función de Transferencia:
GsHs=s+12s3=s2+2s+1 s3

Determinamos el Margen de Ganancia y de Fase con el Diagrama de Bode, en MATLAB:

Determinamos por cálculos
Calculo Matemático del margen de Fase y de Ganancia
Margen de Fase: Es el ángulo que le falta a Gjω.Hjω para llegar a -1800 cuandoGjω.Hjω es 1 (0dB).

GsHs=s+12s3=s2+2s+1s3
GjωHjω=jω2+2jω+1 jω3
GjωHjω=-ω2+2jω+1 -jω3 =1

Luego de aplicar modulo se llega a
ω6-ω4-2ω2-1=0
Luego de digitar en matlab
>> p=[1 0 -1 0 -2 0 -1];
>> roots(p)

ans =
-1.4656
1.4656
-0.2328 + 0.7926i
-0.2328 - 0.7926i
0.2328 + 0.7926i
0.2328 - 0.7926i
Tomamos 1.4956GjωHjω=j1.49562+2j1.4956+1 j1.49563
Nuestro anugulo seria
<GjωHjω= 90 + 34.306 =124.30
Para la MF = 180 - <GjωHjω
MF = 180 -124.30 =55.6937
MF=55.6937 |

Ahora para hallar MG
<GjωHjω =-180

<(jω2+2jω+1 jω3 ) =-180

Entonces
arctan(1 ω) + arctan(1 ω) -270 =-180
2 arctan(1 ω) =90
arctan(1 ω) =45
ω=1
ωj+12ωj3 = 1j+121j3
1j+121j3 = 2

Gω.HωdB = 20log2MG=6,020 |
Por lo tanto.

PROBLEMA #4
Determine el margen de ganancia y el margen de fase a partir de los diagramas de bode y del diagrama polar (Nyquist), para:
GsHs=2.25s2+14
RESOLUCION:
* Desarrollando la Función de Transferencia:
GsHs=2.25s2+14=2.250.0625s4+0.5s3+1.5s2+2s+1
* Determinamos el Margen de Ganancia y de Fase con el Diagrama de Bode, en MATLAB:...