ANÃ LISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS POR RIGIDEZ

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Ing. Diego Curasma Wladimir

ANÁLISIS MATRICIAL
DE ESTRUCTURAS
MÉTODO DE LAS RIGIDECES

~1~

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Ing. Diego Curasma Wladimir

CAPÍTULO I
ARMADURAS

~2~

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Ing. Diego Curasma Wladimir

La matriz de rigidez de elementos tipo armadura biarticulados en donde no se tiene efectos de flexión, cortante ytorsión.


En elementos en donde la barra no está con ninguna orientación se tiene la siguiente matriz.
2

4

1

i

K (e)

 EA
 L

0
 
EA

 L
 0


EA
L
0
0
EA
0 
L
0
0

0 

3

j


0

0

0

0 

Orientado a los ejes locales del elemento.

La matriz nos indica la fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario en el grado de
libertad indicado


Para elementosorientados arbitrariamente tenemos:
2

j

1

Grados de libertad
4

i

K (e)

3


cos 2 
(cos  )( sen )
 cos 2 
(cos  )( sen ) 


2
sen 
(cos  )( sen )
 sen 2
EA  (cos  )( sen )


2
2

L
 cos 
(cos  )( sen )
cos 
(cos  )( sen ) 


 sen 2
(cos  )( sen )
sen 2
 (cos  )( sen )


El ángulo Ø es la orientación del elemento a partir de un eje horizontal.

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Ing. Diego Curasma Wladimir

PROBLEMA N° 1:
Calcular las fuerzas internas de cada elemento y el desplazamiento en el nudo B tanto horizontal como vertical.
Considere E=cte. y las áreas de cada barra se muestran como 2A, 3A y 4A.
P

2

L

2A
A

B

A

B

1

3A
4A
45°

C

45°

C

Se muestran los grados de
libertad de la estructura
°
60

D

°

60

D

SOLUCIÓN:
Ensamblamosla matriz de rigidez de cada elemento.

Se enumeran los ejes locales
de cada elemento tal como
se muestra de donde
tenemos:

 ELEMENTO AB:
2

A

4

1

B

∝ = 0°
3

Cos ∝ = 0
Sen ∝ = 0

0

K AB

0

1

2

0 1 0  0



0 0 0 0
2 EA 

L  1 0 1 0  0


 0 0 0 0 0
1
0

Grados de libertad de la
estructura asociados a los
ejes locales.

~4~

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Ing. DiegoCurasma Wladimir

 ELEMENTO CB:

Se enumeran los ejes locales de
cada elemento tal como se
muestra de donde tenemos:

4
3

B

∝ = 45°
Cos ∝ =

√2
2

Sen ∝ =

√2
2

2
45°

C

1

0

K CB

 1
 2

 1
3EA  2


L 2 1

 2
 1

 2

0

1
2
1
2
1

2
1

2

1

2

1
2
1

2
1
2
1
2

1
 
2

1

2

1 
2 
1 

2 



0
0
0
0

 ELEMENTO DB:
4

B

Se enumeran los ejes locales de
cadaelemento tal como se
muestra de donde tenemos:

3

∝ = 60°
Cos ∝ =
Sen ∝ =
2
60
°

D

1

~5~

1
2

√3
2

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0

K DB

 1

 4
 3

4 EA  4

2L  1
 
 4

3

 4

Ing. Diego Curasma Wladimir

0

1

3
4
3
4
3

4
3

4

1
4
3

4
1
4
3
4

2

3

4 
3 
 
4 
3 

4 
3 

4 





0
0
1
2

Ensamblamos la matriz de rigidez de la estructura según losgrados de libertad, como la estructura presenta 2
GDL la matriz será de 2x2 la cual debe ser simétrica.
2

1


3 2 1

 2
EA 
4
2
K
L 
3 2
3

0

4
2

3 2
3

 1
4
2 
3 2 3  2
0
 
4
2 

0

EA  3.561 1.927 


L 1.927 2.561

K

Ensamblamos el vector fuerza de la estructura teniendo en cuenta los grados de libertad globales.
De la ecuación:

 0 1
F  
 P  2

 F    K   
De donde tenemos que:

    F    K 

1

Resolviendo la ecuación obtenemos los desplazamientos del nudo B.
 0  EA  3.561 1.927   1 



 
  P  L 1.927 2.561   2 
 1  LP  0.474 0.356   0 
 

 
  2  EA  0.356 0.659   1



 1  LP  0.356 
 


  2  EA  0.659 

~6~

Son los desplazamientos del nudo B

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Ing. Diego Curasma Wladimir

Calculamos las fuerzas internas de los elementos asociados a los grados de libertad locales de cada elemento:
 ELEMENTO AB:  PAB    K AB    AB 
 F1
1
 

 F2   2 EA  0
 F3 
L  1
 

0
 F4 

0 1 0 
 0   0.712 


 

0 0 0  LP  0   0 


P
0 1 0  EA  0.356   0.712 


 

0 0 0 
 0.659  ...