Analisis De Estabilidad De Sistemas

Raúl Baeza Ornelas ITESO 2009

Análisis de estabilidad de sistemas mediante el plano fase
Raúl Baeza Ornelas. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente. 9-11 Julio 2009. Guadalajara, Jal., México.

Resumen
Se muestra la forma de aprovechar las capacidades gráficas y simbólicas de la calculadora TI Voyage200 para analizar sistemas físicos representados por sistemas deecuaciones diferenciales. Se estudia el comportamiento de las soluciones de interés en relación con la estabilidad del sistema y se da una introducción al fenómeno del caos.

Introducción
Los cursos de ecuaciones diferenciales pueden beneficiarse ampliamente con el uso de análisis gráficos y numéricos, la mayoría de los textos en la actualidad enfatizan la importancia de este enfoque y proponen eluso de programas de computadora como auxiliares, combinando los aspectos cuantitativos y cualitativos, sin embargo, la puesta en práctica suele complicarse debido a que no contamos con computadoras en los salones de clases tradicionales. La calculadora Voyage 200 proporciona la capacidad de calcular soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales de primerorden, también puede graficar los campos de pendientes y de direcciones (plano fase). Para capturar un sistema de ecuaciones necesitamos ajustar el modo gráfico, presionamos  y a continuación seleccionamos el modo gráfico 6:DIFF EQUATIONS, aceptamos presionando . Entramos al editor de ecuaciones presionando . La variable independiente es t y las variables dependientes se llaman y1, y2, ..., y99.Por ejemplo, el sistema: x '=2x y y ' =x−5y debe escribirse: y1 '=2∗y1 y2 y2 '= y1−5∗y2 para representar el plano fase ajustamos en  9:Format... , abrimos las opciones de Fields... presionando y ahí seleccionamos 2:DIRFLD. Obtenemos la gráfica con . Probablemente la gráfica no sea muy representativa del comportamiento del sistema, para tener una mejor perspectiva ajustamos los parámetrosde la ventana con  y los modificamos según se muestra

Raúl Baeza Ornelas ITESO 2009 y ahora sí veremos una gráfica en la cual se observa un punto crítico del tipo punto silla en (0,0)

Para calcular una trayectoria sobre el plano fase debemos indicar las condiciones iniciales. Existen varias formas de hacerlo, la principal es desde el editor de ecuaciones. En el primer renglón aparece unalínea que dice t0=0, el valor puede modificarse para indicar en que punto se aplicarán las condiciones del tipo y1t0=b1, y2t0=b2 , etc., en este caso vamos a dejar el valor por defecto. Para establecer las condiciones y10=1, y2 0=3 escribimos yi1=1 y yi2=3 quedando

Ahora regresamos a la venta gráfica para ver la trayectoria junto con el plano fase. La trayectoria se dibuja con líneagruesa y un pequeño círculo marca el punto inicial:

Las trayectorias se calculan con el método de Euler o de Runge-Kutta, los datos pueden verse en la tabla, presionamos 

También se pueden obtener trayectorias seleccionando condiciones iniciales de manera interactiva. En la ventana de gráfica presionamos  y nos movemos con las flechas de posición hasta el punto en el cual queremos generar latrayectoria, al ubicarnos presionamos . La principal desventaja de este

Raúl Baeza Ornelas ITESO 2009 método consiste en que no se genera una tabla para esta trayectorias.

El sistema descrito es inestable, lo cual se podría observar fácilmente a partir de los valores propios de la matriz del sistema, ya que es un sistema lineal. El problema se vuelve más complicado cuando tenemos unsistema de ecuaciones diferenciales no lineales, en este caso incluso la determinación de los puntos críticos puede ser complicada ya que se debe resolver un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales.

El péndulo
Normalmente se analiza el modelo del péndulo linealizado, ya que puede resolverse con facilidad. Al utilizar una herramienta de cómputo se puede trabajar con el modelo no lineal y...