analisis numerico tema 3

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO



FACULTAD DE INGENIERIA



¨INTERPOLACION, DERIVACION E INTEGRACION NUMERICA¨














NOMBRE: LOPEZ CHIQUILLO JUAN ISRAEL

MATERIA: ANALISIS NUMERICO

FECHA DE ENTREGA: 7 / OCTUBRE / 2013

CLAVE: 1423
Objetivo: El alumno aplicara alguno de los métodos numéricos para interpolar, derivar e integral funciones.

3.1Interpolación con incrementos variables (polinomio de Lagrange).

La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base monómica estándar para nuestro polinomio interpolador, llegamos a la matriz de Vandermonder. Eligiendo una base distinta, la base de Lagrange, llegamos a la forma más simple dematriz identidad = δi,j, que puede resolverse inmediatamente.


Dado un conjunto de k + 1 puntos

donde todos los xj se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange es la combinación lineal.

de bases polinómicas de Lagrange

La función que estamos buscando es una función polinómica L(x) de grado k con
El problema de interpolación puede tener tan solo unasolución, pues la diferencia entre dos tales soluciones, sería otro polinomio de grado k a lo sumo, con k+1 ceros.
Por lo tanto, L(x) es el único polinomio interpolador.

3.2 Tablas de diferencias finitas. Interpolación con incrementos constantes (polinomios interpolantes). Diagrama de rombos.

Mediante el método de diferencias finitas, haremos frente a algunos problemas que presentaba lainterpolación de Lagrange. A continuación realizaremos una mención sobre ellos:
• La cantidad de cálculos necesarios eran elevados
• No se podían utilizar partes de la aplicación previa.
• No se podían utilizar los resultados de cálculos anteriores.
A continuación nos centraremos en explicar en que se basa el método de diferencias finitas:
En este método consideraremos que los puntos estánequidistanciados en el eje X, es decir , la diferencia entre dos puntos consecutivos en el eje X es constante.
El intervalo entre dos puntos consecutivos lo denominaremos h.
Definiremos (n+1) puntos a intervalos h, por los que tiene que pasar el polinomio de interpolación con lo cual:
Xi=Xo+ih ! Xi-X(i-1) Siendo i=0,1,2,3...n con yi=fi=f(xi)
Las igualdades citadas nos pueden conducir a una expresiónpara la interpolación polinomial en términos de diferencias hacia delante.
La diferencia lo denominaremos como la resta del punto y con respecto al valor anterior del mismo. Esta afirmación lo podemos escribir mediante la siguiente expresión: Yi+1-Yi.
La primera diferencia lo denominaremos yi.
Las diferencias consecutivas los podemos representar mediante la siguiente expresión:
m m-1
yi=(yi).

3.3 Derivación numérica. Deducción de esquemasde derivación. Extrapolación de Richardson.

El método de extrapolación de Richardson, desarrollado por Lewis Richardson (1881-1953), permite construir a partir de una secuencia convergente otra secuencia más rápidamente convergente. Esta técnica se usa frecuentemente para mejorar los resultados de métodos numéricos a partir de una estimaciónprevia, de igual forma mejora la precisión en el cálculo numérico de la derivada de una función, partiendo de la base de la seire de Taylor.
Para una función variable en x, la primera derivada está definida por:

Una simple aproximación se tiene por la diferencia hacia adelante, de forma que:

Esta aproximación está lejos del valor real, por tanto en orden de hacer un análisis del error,expandimos en forma de serie de Taylor:

Substrayendo f(x) de ambos lados y dividiendo por h, se tiene que:

Análogamente se derivan las demás fórmulas de aproximación, deduciendo por ejemplo, con diferencia hacia atrás o cambiando los valores de h; de esta forma se obtiene una expresión generalizada llamada extrapolación de Richardson:
Sea A, la respuesta exacta a la integral, y A(h) la...