analisis ruleta

¿Puede dar p´rdida un Casino?
e
†
por Ernesto Mordecki⇤

En esta nota calculamos la probabilidad de que pierda la banca en la
ruleta, en un per´
ıodo dado de tiempo. Nuestro enfoque consiste en determinar cuantas veces debe rodar la bola para que esta probabilidad sea despreciable. En los calculos inclu´
ımos costos operativos, y llegamos a la siguiente
conclusi´n: Si en los Casinos deMontevideo funcionan a diario 10 mesas de
o
ruleta, durante 8 horas, tirandose 24 bolas por hora, y con una apuesta media
de una ficha por pleno, asumiendo ademas que los costos de funcionamiento
son la mitad de la ganancia esperada por la banca, la probabilidad de que los
casinos den p´rdida en un per´
e
ıodo de un mes es despreciable (menor que un
mil´simo).
e

1

Introducci´n
oConsideramos entonces un casino funcionando, con 10 mesas de ruleta,
durante 8 horas por d´ tir´ndose 24 bolas por hora. Del punto de vista
ıa, a
matem´tico separamos el an´lisis en tres etapas:
a
a
• Que ocurre cuando se apuesta una ficha
• Cual es el comportamiento esperado de la ganancia de la banca, al
acumularse las tiradas
• Cuan probable es un desv´ de este comportamiento, para darp´rdida
ıo
e
(ganancia negativa).
⇤
Prof. Agregado del Centro de Matem´tica, Facultad de Ciencias, Universidad de la
a
Rep´blica. e-mail: mordecki@cmat.edu.uy
u
†
Agradezco los comentarios de Gonzalo Perera y Mario Wschebor. El contenido de la
nota es de mi entera responsabilidad.

1

Aplicamos luego este an´lisis en dos situaciones: al tener una apuesta
a
fija por bola tirada, y altener una apuesta variable, presentando las conclusiones. En el ap´ndice mostramos los c´lculos detallados y las referencias
e
a
bibliogr´ficas.
a
Antes de conclu´ esta introducci´n digamos que estos c´lculos est´n moır
o
a
a
tivados por las p´rdidas que sufrieron los Casinos de Montevideo en el ultimo
e
´
per´ de cuatro a˜os, y, que en la nota no se pretende modelar lo que ocurre
ıdon
con todos los juegos de azar que los casinos ofrecen, sino apenas ilustrar los
principios que rigen los juegos de azar, con el an´lisis de la ruleta, agregando
a
adem´s que los mismos principios rigen para todos los juegos de azar en los
a
que la banca tiene prioridad a la hora de repartir los premios.

2

Apuesto una ficha

Supongamos que un jugador apuesta una ficha, ficha que deaqu´ en m´s
ı
a
ser´ nuestra unidad de medida. Luego de tirar la bola, la banca obtiene una
a
ganancia1
(
1
con probabilidad 36/37
G=
35 con probabilidad 1/37
La ganancia esperada de la banca debida al azar, que simbolizamos E G se
calcula promediando los montos a ganar por las probabilidades de ganarlos,
es decir
1
36
1
E G = 35 ⇥
+1⇥
=
37
37
37
Si c es el costo de tirar labola, la ganancia esperada por la banca (en el
supuesto ideal de que se apueste una sola ficha) es
EG

3

c=

1
37

c

Ganacia media en tiradas m´ltiples
u

Supongamos entonces que el casino esta funcionando, y para fijar ideas,
que se apuesta una sola ficha por tirada2 . Si G1 , . . . , GN son las ganancias
1
2

Para el c´lculo se utiliza la regla “casos favorables sobre casosposibles”
a
Luego veremos un modelo m´s realista.
a

2

de la banca en las N tiradas (que dependen del azar), y c son los costos
operativos por cada bola tirada, la “ley de los grandes n´meros” afirma que
u
los promedios de las ganancias se aproximan, cuando la cantidad de tiradas
crece, a la ganancia esperada en una tirada. En otros t´rminos
e
G1

c + · · · + GN
N

c

⇠ EG

c=1
37

c.

De aqu´ concluimos que la ganancia es aproximadamente N (1/37 c) y
ı
obtenemos la primer conclusi´n: para que la banca gane los costos operativos
o
no pueden superar la ganancia esperada debida al azar. En nuestro caso debe
verificarse c < 1/37.

4

Desv´ de la ganancia media
ıos

Para analizar cuanto puede desviarse esta ganancia promedio de la ganancia esperada,...