analisis I

Departamento de Matem´tica
a
2007

Certamen 1 (pauta) An´lisis I a˜ o 2007
a
n
Profesor: Pedro Gajardo
Ayudante: Mauricio Godoy
Fecha: 21 de abril 2007

Pregunta 1
Sea (E, d) un espacio m´trico.
e
(i) Si toda sucesi´n de conjuntos cerrados {Ck }k∈I donde ∅ = Ck ⊆ E y Ck+1 ⊆ Ck satisface
o
N
Ck = ∅,

(1)

k∈I
N

pruebe que E es compacto.
Indicaci´n: Dada una sucesi´n {xk}k∈I ⊆ E considere los conjuntos Ak = {xk , xk+1 , . . .}
o
o
N
y Ck = Ak (su adherencia).
Respuesta:
Sea {xk }k∈I ⊆ E una sucesi´n. Se debe probar que esta tiene al menos un punto de acuo
N
mulaci´n. Como sugiere la indicaci´n, consideremos los conjuntos Ak = {xk , xk+1 , . . .} y
o
o
Ck = Ak . Se observa directamente que ∅ = Ck ⊆ E y Ck+1 ⊆ Ck . La hip´tesis nos dice
o
entonces queCk = ∅.
k∈I
N

Dado x en la intersecci´n, probemos que x es un punto de acumulaci´n de la sucesi´n. De
o
o
o
hecho, x ∈ Ck = Ak para todo k ∈ I por lo tanto, para todo k y para todo ε > 0 se tiene
N
B(x, ε) ∩ Ak = ∅ (de la definici´n de adherencia). Es decir, existe un elemento de Ak que
o
est´ en B(x, ε), lo que es equivalente a decir que existe un k ≥ k (de la definici´n de los
a
oconjuntos Ak ) tal que xk ∈ B(x, ε).
De esta manera hemos demostrado que ∀ ε > 0, ∀ k ∈ I ∃ k ≥ k tal que xk ∈ B(x, ε),
N
por lo tanto, x es un punto de acumulaci´n de la sucesi´n {xk }k∈I . As´ conclu´
o
o
ı
ımos que el
N
espacio E es compacto.
(ii) Si E es compacto, demuestre que toda sucesi´n de conjuntos cerrados {C k }k∈I que satisface
o
N
∅ = Ck ⊆ E y Ck+1 ⊆ Ck verifica (1).Respuesta:
Suponiendo E compacto, consideremos una sucesi´n de conjuntos {Ck }k∈I de E que satiso
N
facen ∅ = Ck ⊆ E y Ck+1 ⊆ Ck . Debemos mostrar que la intersecci´n de todos ellos es no
o
vac´
ıa.
Para cada k, tomemos un elemento xk ∈ Ck . Como E es compacto, se tendr´ que la sucesi´n
a
o
{xk }k∈I tiene al menos un punto de acumulaci´n. Sea x ∈ E un punto de aucumulaci´n.
o
o
NMostremos que este se encuentra en la intersecci´n con lo que probar´
o
ıamos el resultado
1

deseado. De la definici´n de punto de acumulaci´n se tiene que ∀ ε > 0, ∀ k ∈ I , ∃ k ≥ k
o
o
N
tal que xk ∈ B(x, ε) y por lo tanto Ck ∩ B(x, ε) = ∅. Debido a que Ck ⊆ Ck (pues k ≥ k),
observamos que Ck ∩ B(x, ε) = ∅. Es decir, para todo k y para todo ε > 0 se tiene
Ck ∩ B(x, ε) = ∅,
por lo tantopara todo k el elemento x pertenece a la adherencia de Ck , pero como son
conjuntos cerrados, hemos probado que para todo k, x ∈ Ck concluyendo as´ que x esta en
ı
la intersecci´n.
o

Pregunta 2
Sea (E, d) un espacio m´trico. Una funci´n f : E −→ R se dice semicontinua inferior (sci) si
e
o
para todo λ ∈ R, el conjunto Cλ = {x ∈ E : f (x) ≤ λ} es cerrado en E.
(i) Muestre que toda funci´ncontinua f : E −→ R es sci (en R considere la topolog´ usual).
o
ıa
De un ejemplo de una funci´n semicontinua inferior que no sea continua.
o
Respuesta:
Dada una funci´n f : E −→ R y λ ∈ R, observamos que
o
Cλ = {x ∈ E : f (x) ≤ λ} = f −1 (] − ∞, λ]).
Recuerde que el intervalo ] − ∞, λ] es un conjunto cerrado en R para la m´trica usual. Si la
e
funci´n f es continua entonces elconjunto Cλ es cerrado pues es preimagen de un cerrado,
o
por lo tanto, es sci (definici´n entregada en el enunciado).
o
Un ejemplo de funci´n sci que no sea continua podr´ ser f : R −→ R definida por
o
ıa
1
2

f (x) =

si x ≤ 0
si x > 0.

Claramente f no es continua, sin embargo, es sci pues en efecto

 ∅
{x ∈ R : x ≤ 0}
Cλ = {x ∈ R : f (x) ≤ λ} = f −1 (] − ∞, λ]) =

R

si λ < 1si 1 ≤ λ < 2
si λ ≥ 2.

Por lo tanto Cλ es un conjunto cerrado de R para todo λ ∈ R.

(ii) Dada una funci´n f : E −→ R, se define su ep´
o
ıgrafo como el conjunto
epi f = {(x, r) ∈ E × R : f (x) ≤ r}.
Pruebe que una funci´n f : E −→ R es sci s´ y solamente s´ su epigrafo es cerrado en el
o
ı,
ı,
espacio producto E × R (considerando alguna de las m´tricas usuales en el espacio...