analista

1

ESTAD´
ISTICA
VARIABLES ALEATORIAS
Alberto Luce˜ o
n
Francisco J. Gonz´lez
a

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ıculo

Copyright c 2000
Actualizado el: 11 de noviembre de 2003

Versi´n 2.00
o

Tabla de Contenido
3. Variables aleatorias
3.1. Variables aleatorias discretas
3.2. Variables aleatorias continuas
3.3. Cambio de variable
Soluciones de EjerciciosSecci´n 3: Variables aleatorias
o

3

3. Variables aleatorias
3.1. Variables aleatorias discretas
Ejercicio 39. En algunos casinos se realiza el siguiente juego: se elige
uno de los n´meros 1, 2, 3, 4, 5, 6. A continuaci´n se lanzan tres
u
o
dados. Si el n´mero elegido aparece 1, 2, 3 veces, se recibe 1, 2, 3
u
veces lo apostado, y se recupera ´ste. Si no aparece el n´mero elegido,
eu
se pierde lo apostado. Sea X la variable aleatoria que proporciona la
ganancia. Obtener E(X).
Ejercicio 40. Una variable aleatoria tiene la siguiente funci´n de
o
probabilidad,
x
P (x)

1
0,05

2
0,20

3
0,05

4
0,45

5
0,25

1. Comprobar que es una funci´n de probabilidad.
o
2. Calcular P (x ≤ 3).
3. Calcular P (x > 3).
Toc

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Doc

Doc

Secci´n 3:Variables aleatorias
o

4

4. Calcular P (x = 1 ∪ x = 3 ∪ x = 5).
5. Calcular E(X).
6. Representar la funci´n de distribuci´n FX (x).
o
o
Ejercicio 41. Fiabilidad de un componente. Para una componente
de un sistema, sea A el suceso “la componente funciona”. Se define la
funci´n indicatriz del suceso A como aquella funci´n IA tal que IA = 1
o
o
si A es cierto e IA = 0 si A es falso.¿Qu´ indica E(IA )?
e

Toc

Volver

Doc

Doc

f)

Representar la funci´n de distribuci´n FX (x).
o
o

Secci´n 3: Variables aleatorias
o

5
b) 0,3

41.

42.

c) 0,7

d) 0,35

e) 3,65

Ejercicio 42. A partir la figura

Fiabilidad de un componente. Para una componente de un sistema, sea A el suceso “la componente
funciona”. Se define la funci´n indicatriz del suceso Acomo aquella funci´n I A tal que IA = 1 si A
o
o
1. Determinar la funci´n indicatriz de los sistemas.
oe
es cierto e IA = 0 si A es falso. ¿Qu´ indica E(IA )?

2. Determinar la fiabilidad de los sistemas.

A partir la figura 3.1

a) Suponiendo po indicatriz p = 0,90,
3. Determinar la funci´n = p2 = de3los sistemas.determinar la fiabilidad de los
1
b) Determinar la fiabilidad de lossistemas.
sistemas y compararlos.
c)

Suponiendo p1 = p2 = p3 = 0,90, determinar la fiabilidad de los sistemas y compararlos.
1

1

2

1

2

2

3

3

(a) Circuito1

(b) Circuito2

(c) Circuito3

Figura 3.1: Funci´n indicatriz y fiabilidad
o
a) 1 − (1 − I1 )(1 − I2 )(1 − I3 ), I1 I2 , 1 − (1 − I1 I2 )(1 − I3 )

Universidad de Cantabria.

Toc

b) 1 − q1 q2 q3 , p1 p2 , 1 −(1 − p1 p2 )q3

Alberto Luce˜o y Fco. Javier Gonz´lez
n
a

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25

Doc

Doc

43.

3.

3. VARIABLES ALEATORIAS

Secci´n 3: Variables aleatorias
o

6

Determinar la funci´n indicatriz y la fiabilidad de cada uno de los sistemas de la figura 3.2
o

Ejercicio 43. Determinar la funci´n indicatriz y la fiabilidad de cada
o
1
2
Determinar los sistemas de y lafigura decada uno de 1 sistemas de 1 figura 3.2
o
los
la
uno de la funci´n indicatriz la fiabilidad

1

2
3

1
4

2

(a) Circuito4

3

1
2
(b) Circuito5

4

2

(a) Circuito4

2

Figura 3.2: Funci´n indicatriz y fiabilidad
o

(b) Circuito5

a) I = 1 − (1 − I1 I2 )(1 − I3 I4 ), R = 1 − (1 − p1 p2 )(1 − p3 p4 )

b) I = [1 o (1 − I1 )(1 − I y − (1 − I3 )(1
−
Figura 3.2:Funci´n indicatriz2 )][1fiabilidad − I4 )], R = (1 − q1 q2 )(1 − q3 q4 )

44.

4.

Ejercicio 44. Determinar la funci´n indicatriz y la fiabilidad de cada
o
uno de los funci´n indicatriz lalafigura − I I cada uno),de los1 sistemaspde la−figura 3.3
a)
= 1 − (1
Determinar la sistemas de y I fiabilidad de )(1 − I I R = − (1 − p )(1 p p )
o
1 2

3 4

1

2

3

4

b) I = [1 − (1 − I1...