Anidado cruzado

Modelo de diseños anidados y cruzado-anidados
Modelo de diseños anidados
En algunas situaciones no se pueden combinar todos los niveles de un factor con todos los niveles de otro, es decir, no se pueden determinar todos los posibles tratamientos que aparecen al cruzar los factores. Ejemplo. Supongamos que en un centro de formación profesional se estudia el porcentaje de aprobados en unamateria, en los grupos de mañana y de tarde. Por la mañana imparten la asignatura dos personas y por la tarde tres. Cada persona da clase a tres grupos y se supone que estos son réplicas (no son fuente de variación). Así, Factor A ≡ Turno (i = 1, 2) Factor B ≡ Persona (j = 1, . . . , 5) yij ≡ Porcentaje de aprobados Mañana . ↓ & P1 P2 P3 g1 g1 g1 g2 g2 g2 g3 g3 g3 Tarde . & P4 P5 g1 g1 g2 g2 g3 g3

Sedice que el factor B está anidado en el factor A, es decir B ⊂ A.

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Modelo matemático
Se dice que un factor B está anidado en otro factor A (o que sus niveles están anidados en los de A) cuando cada nivel del factor B aparece asociado a un único nivel del factor A. Se denota como B ⊂ A. A1 . ↓ & B1 B2 B3 obs. 1 obs. 1 obs. 1 obs. 2 obs. 2 obs. 2 obs. 3 obs. 3 obs. 3 A2 . ↓ & B4 B5 B6 obs.1 obs. 1 obs. 1 obs. 2 obs. 2 obs. 2 obs. 3 obs. 3 obs. 3 ··· ··· ··· ··· ··· Aa . ↓ & Bm−2 Bm−1 Bm obs. 1 obs. 1 obs. 1 obs. 2 obs. 2 obs. 2 obs. 3 obs. 3 obs. 3

El modelo se expresa como yijk = μ + αi + β j(i) + εijk donde i = 1, . . . , a j = 1, . . . , b k = 1, . . . , n y para cada i,
b X j=1

β j(i) = 0 αi = 0

a X i=1

Se observa que β j(i) representa el efecto medio adicional delnivel j-ésimo anidado en el nivel i. Por otro lado, b es el número de niveles anidados en cada nivel i, de modo que el número total de niveles de B es a · b y la suma de los efectos del factor B dentro de cada nivel de A es 0.

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Estimadores por mínimos cuadrados Se tiene que
a b n XXX¡ ¢2 m´ φ = m´ ın ın yijk − μ − αi − β j(i) μ,αi ,β j(i) i=1 j=1 k=1

μ,αi ,β j(i)

Así, XXX¡ ¢ ∂φ =−2 yijk − μ − αi − β j(i) = 0 =⇒ ∂μ i=1 j=1 k=1
a b n

μ = y··· ˆ ¯

Para cada i fijado XX¡ ¢ ∂φ = −2 yijk − μ − αi − β j(i) = 0 =⇒ ∂αi j=1 k=1
b n b n XX j=1 k=1

yijk − bn¯··· − nbαi = 0 =⇒ y

αi = yi·· − y··· ˆ ¯ ¯ Para cada i fijado y j fijado X¡ ¢ ∂φ = −2 yijk − μ − αi − β j(i) = 0 =⇒ ∂β j(i) k=1
n n X k=1

yijk − n¯··· − n (¯i·· − y··· ) − nβ j(i) = 0 =⇒ y y ¯

ˆ ¯ ¯ β j(i) = yij· −yi·· De este modo, yijk = y··· + (¯i·· − y··· ) + (¯ij· − yi·· ) = yij· ˆ ¯ y ¯ y ¯ ¯ El número total de observaciones es a·b·n y el número total de parámetros a estimar es 1+(a−1)+a(b−1) = ab, luego el número de grados de libertad total es abn−ab = ab(n−1). De este modo, la estima de la varianza es Pa Pb Pn σ = ˆ
2 i=1 j=1

(yijk − yij· )2 ¯ . ab(n − 1)
k=1

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Tabla ANOVA Si seconsidera la suma de cuadrados total SCT =
a b n XXX i=1 j=1 k=1

(yijk − y··· )2 ¯

sumando y restando los términos ±¯i·· ±¯ij· se obtiene y y
b n a XXX i=1 j=1 k=1

(yijk − y··· ) ¯

2

=

b n a XXX i=1 j=1 k=1

(¯i·· − y··· )2 + y ¯ (¯ij· − yi·· )2 + y ¯ (yijk − yij· )2 ¯

+

b n a XXX i=1 j=1 k=1 b n a XXX i=1 j=1 k=1

+ entonces

SCT = SCA + SCB(A) + SCE que puesto entérminos de totales queda A1 B1 B2 y111 y121 . . . . . . yij· yi·· y11n y12n y11· y12· y1·· A2 B3 B4 y211 y221 . . . . . . y21n y22n y21· y22· y2·· A3 B5 B5 y311 y321 . . . . . . y31n y32n y31· y32· y3··

y···

SCT = SCA = para cada nivel i fijado se tiene

a b n XXX

i=1 j=1 k=1 a 1 X 2 y − bn i=1 i··

2 yijk −

1 2 y abn ···

1 2 y abn ···

1X 2 1 2 yij· − yi·· SCB(A)i = n j=1 bn
b

4y como SCB(A) =

Pa

i=1

SCB(A)i , entonces
a b a

1 X 2 1 XX 2 yij· − y SCB(A) = n i=1 j=1 bn i=1 i·· SCE = SCT − SCA − SCB(A)

Los contrastes de hipótesis que se realizan son: ½ H0 : α1 = · · · = αa = 0 (el factor A no influye) H1 : algún αi 6= 0 (el factor A influye) en este caso F0 = de modo que se rechaza H0 a nivel α si F0 > F(a−1),ab(n−1),α La otra hipótesis que se...