Anillos

Cap´
ıtulo 1
Teor´ de Anillos
ıa
1.1.

El concepto de anillo

Definici´n 1 Un anillo (A, +, ·) es un conjunto no vac´o con dos operaciones bio
ı
narias (denotadas por + y ·) tales que:
1) (A, +) es un grupo conmutativo.
2) La operaci´n · es cerrada y asociativa.
o
3) Las leyes distributivas son v´lidas, para elementos a, b, c ∈ R cualesquiera
a
a · ( b + c)

= a·b+a·c

y

(b+ c) · a = b · a + c · a.

Nota Seguiremos la convenci´n de usar 0 para denotar la identidad de (A, +), y
o
hablaremos de (+) como suma y (·) como multiplicaci´n.
o
Ejemplo 1.
Sea (A, +) un grupo abeliano, definimos a · b = 0,

∀ a, b ∈ A. Entonces (A, +, ·)

es un anillo, llamado anillo trivial sobre A.
Ejemplo 2.
Si (Z +, ·) es un anillo, ya que (Z +) es un grupo abeliano.
Z,
Z,Ejemplo 3.
Considere (Z 2 , +, ·)
Z
+01

·

0

1

0

01

00

0

1

10

10

1

1

CAP´
ITULO 1. TEOR´ DE ANILLOS
IA

2
es un anillo.

Definici´n 2 1) Un anillo (A, +, ·) se llama un anillo con identidad si el anillo
o
tiene identidad multiplicativa, esto es, si existe un elemento e ∈ A tal que a · e =
e · a = a,

∀ a ∈ A.

2) Un anillo (A, +, ·) se llama unanillo conmutativo si ∀ a, b ∈ A se cumple que
a · b = b · a.
3) Un anillo (A, +, ·) se llama un dominio entero si es un anillo conmutativo con
identidad, en el cual ab = 0 =⇒ a = 0 ´ b = 0.
o
4) Un anillo (A, +, ·) se llama con divisores de cero si existen a = 0 y b = 0 tale
que a · b = 0. Se dice que a y b son divisores de cero en este caso.
5) Un anillo (A, +, ·) en el cual (A − {0}, ·)es un grupo, es un anillo de divisi´n.
o
6) Un anillo (A, +, ·) conmutativo de divisi´n es un campo.
o

Ejemplo 4.
Considere (Z +, ·) es un dominio entero, pero no un campo.
Z,
Ejemplo 5.
Por otro lado (2Z +, ·) es un anillo conmutativo sin identidad.
Z,
Ejemplo 6.
Sea A un conjunto de tres elementos A = {a, b, c} donde la suma y multiplicaci´n estan dadas por las siguientes tablas
o+a

bc

·

a

b

c

a

c

a

b

a

c

b

a

b

a

bc

b

bb

b

c

b

c

c

a

c

a

b

El lector puede verificar todas las propiedades de que (A, +, ·) es un anillo. Este
anilllo es conmutativo, c es la identidad para la multiplicaci´n y b es el cero para la
o
suma o adici´n. De hecho A es un dominio entero.
o
Ejemplo 7.
Daremos aqu´un ejemplo de un anillo con cuatro elementos. Damos la tabla para
ı

1.1. EL CONCEPTO DE ANILLO

3

la suma y la multiplicaci´n A = {0, a, b, a + b} y definimos
o
+

0

a

b

a+b

·

0

ab

a+b

0

0

a

b

a+b

0

a

0a

0

a

a

0

a+b b

a

b

0b

0

b

b

a+b 0

a

b

a+b 0 a+b 0

b

0

a+b 0

a+b a+b

a

000

Es claro que a · b = b · a, adem´s note que tanto a como a + b act´an como identidades
a
u
multiplicativos derechas. no existen identidades multiplicativas izquierdas.
Nota Si un anillo tiene identidad e, de aqui en adelante se escribir´ como 1.
a
Ejemplo 8.
Sea A = {0, x, y, z } y se define (+) y (·) por medio de las siguientes tablas
+0

xy

z

·

0x

yz

0

0

xyz

0

00

0

x

x0

z

y

x0x

yz

y

yz

0

x

y0x

yz

z

z

yx

0

z

0

00

0

0

Es claro que A es un anillo sin identidad, tambi´n es evidente que no satiface las
e
leyes de cancelaci´n ya que: x · z = y · z pero x = y.
o
Ejemplo 9.
(Z 6 , +, ·) es un anillo conmutativo, note que 2 ∈ Z 6 , 2 = 0 y 3 ∈ Z 6 , 3 = 0
Z
Z
Z
pero 2 · 3 = 3· 2 = 6 = 0. Por lo tanto este anillo tiene divisores, de hecho 2 es un
divisor de cero, lo mismo que el 3.
Ejemplo 10.
Sea A = {0, 2, 4}, es claro que A ⊆ Z 6 , es un anillo. As´ (A, +, ·) es un anillo
Z
ı
conmutativo con elemento identidad 4. verifiquelo!!! Observe que este anillo tiene
identidad diferente del anillo Z 6 . Es tambien un dominio entero.
Z

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ITULO 1. TEOR´ DE...