ANILLOS

´
´ BELLO
UNIVERSIDAD CATOLICA
ANDRES
FACULTAD DE INGENIER´IA
´
ESCUELA DE INGENIER´IA INFORMATICA
´
´
CATEDRA
DE MATEMATICAS
DISCRETAS

´
´
GU´IA TEORICO-PR
ACTICA
No 6
(ANILLOS)
Definici´
on de Anillo
Sea A un conjunto no vac´ıo con dos operaciones binarias, denotadas con + y · (que pueden
ser diferentes de la adici´on y multiplicaci´on usuales). Diremos que (A, +, ·) es un anillo si y
s´olo sipara todos a, b, c ∈ A se cumplen las siguientes condiciones:
1. a + b = b + a.
2. a + (b + c) = (a + b) + c.
3. Existe un (´
unico) elemento 0 ∈ A tal que a + 0 = 0 + a = a. (Con el s´ımbolo “0”
denotaremos, en abstracto, al elemento neutro para la operaci´
on + en A)
4. Para cada a ∈ A existe un elemento b ∈ A tal que a + b = b + a = 0. (Como este elemento
“b” es u
´nico, lo denotaremos por “ −a”)
5. a · (b · c) = (a · b) · c.
6. a · (b + c) = a · b + a · c y (a + b) · c = a · c + b · c.
Ejemplo 1: Con las operaciones de la adici´on y multiplicaci´on usuales, Z, Q, R, C, Zn y
Rn×n (el conjunto de las matrices cuadradas de orden n con componentes reales), con n ∈ Z+ ,
son anillos.
Definiciones
Sea (A, +, ·) un anillo.
(a) Si a · b = b · a, para todos a, b ∈ A, entonces A es un anilloconmutativo.
(b) A no tiene divisores de cero si para cualesquiera a, b ∈ A se cumple que
a·b=0 ⇒ a=0 ∨ b=0
(c) Si existe un (´
unico) elemento 1 ∈ A tal que 1 = 0 y a · 1 = 1 · a = a para todo a ∈ A,
diremos que 1 es la identidad para la operaci´on multiplicaci´on · de A. El anillo A es,
entonces, un anillo con identidad. (Con el s´ımbolo “1” denotaremos, en abstracto, al
elemento neutro para laoperaci´on · en A)
Ejemplo 2: Con las operaciones de la adici´on y multiplicaci´on usuales, los anillos Z, Q, R,
C y Zn , con n ∈ Z+ , son anillos conmutativos. Sin embargo, el anillo de las matrices R2×2 , con
las operaciones de la adici´on y multiplicaci´on usuales, no es un anillo conmutativo. En efecto:
1 0
0 0

·

0 1
0 0

=

0 1
0 0

=

0 0
0 0

=

0 1
0 0

·

1 0
0 0

Ejemplo 3: Con lasoperaciones de la adici´on y multiplicaci´on usuales, los anillos Z, Q, R,
C y Zn , con n ∈ Z+ y n primo, no tienen divisores de cero. Sin embargo, el anillo Z6 , con las
operaciones de la adici´on y multiplicaci´on usuales, tiene divisores de cero. En efecto, 2, 3 ∈ Z6 ,
2 · 3 = 0, pero 2 = 0 y 3 = 0.
Ejemplo 4: Con las operaciones de la adici´on y multiplicaci´on usuales, la identidad de losanillos:
(a) Z, Q, R y C es el 1.
(b) Zn , con n ∈ Z+ , es el 1 (como clase de equivalencia).
(c) R2×2 es la matriz

1 0
.
0 1

Ejemplo 5: Consideremos la estructura (Z, ⊕, ), donde ⊕ y
a ⊕ b = a + b − 1,

a

se definen como sigue:

b = a + b − ab,

para cualesquiera a, b ∈ Z. Demostraremos que (Z, ⊕, ) es un anillo.
(a) Dado que la adici´on y sustracci´on usuales en Z son operaciones binarias cerradasen Z, se
cumple que si a, b ∈ Z, entonces a ⊕ b = a + b − 1 ∈ Z. Luego, ⊕ es una operaci´on binaria
cerrada en Z.
(b) Como la adici´on usual en Z es conmutativa, entonces se tiene que para cualesquiera
a, b ∈ Z:
a ⊕ b = a + b − 1 = b + a − 1 = b ⊕ a.
(c) Tambi´en se cumple que para cualesquiera a, b, c ∈ Z:
(a ⊕ b) ⊕ c = (a + b − 1) + c − 1 = a + (b + c − 1) − 1 = a ⊕ (b ⊕ c).
´
(d) Determinemos elelemento 0. Este
debe cumplir que a ⊕ 0 = 0 ⊕ a = a, para todo a ∈ Z.
Por tanto, debemos resolver la ecuaci´on a + 0 − 1 = a, lo que nos lleva a que 0 = 1 ∈ Z.
´
(e) Ahora, para cada a ∈ Z, encontremos su respectivo sim´etrico aditivo b ∈ Z. Este
debe
cumplir que a ⊕ b = b ⊕ a = 1. Por tanto, debemos resolver la ecuaci´on a + b − 1 = 1, lo
que nos lleva a que b = 2 − a ∈ Z.
(f) Dado que laadici´on, sustracci´on y multiplicaci´on usuales en Z son operaciones binarias
cerradas en Z, se cumple que si a, b ∈ Z, entonces a b = a + b − ab ∈ Z. Luego,
es
una operaci´on binaria cerrada en Z.
(g) Tambi´en se cumple que para cualesquiera a, b, c ∈ Z:
(a

b)

c =
=
=
=

(a + b − ab) + c − (a + b − ab)c
a + b + c − ab − ac − bc + abc
a + (b + c − bc) − a(b + c − bc)
a (b c).

2

(h) Establezcamos...