ANTECEDNETES

Método de Runge-Kutta
En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales.Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.
METODO DE RUNGE-KUTTA DE 4TO ORDEN
 
Para resolver ecuaciones diferencialesordinarias de primer orden con error del orden de , de uso tan frecuente que en la literatura sobre métodos numéricos se le llama el Método de Runge-Kutta de 4to orden, se dará a conocer sindemostrar y consiste en aplicar la ecuación de recurrencia (12) en donde la función está dada por la expresión:
*y i +1(x i +1) = y i +{ h /6 *[K1 +(2 * K2) +(2 * K3) + K4] }           (16)
en el cual:* K1 =f [x i, y i]
* K2 =f [x i +(h /2), y i +(h *K1 /2)]
* K3 =f [x i +(h /2), y i +(h *K2 /2)]
* K4 =f [x i +h, y i +(h *K3)]
La ecuación (16) se obtiene haciendo un promedio de las cuatropendientes, K1, K2, K3 y K4 a la curva integral, en forma semejante a como se procedió con las pendientes de las tangentes T1 y T2 que dieron lugar a (11).

EJEMPLO:
Determine y (0.5) utilizando el métodode Runge-Kutta de cuarto orden, en el intervalo de interés [0, 0.5], en 5 intervalos.
PVI { y’ =4e0.8x – 0.5y ; y(0) =2 ; y(0.5) =? }
h =0.5 – 0 / 5             h =0.1
por lo tanto x0 =0, x1 =0.1,x2 =0.3, x4 =0.4, x5 =0.5
 

ITERACIÓN I           i =0 ; x0 =0 ; y0 =2
K1 =f [0, 2] =4e(0.8*0) – (0.5 * 2)
K1 =3
 
K2 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3) /2] =f [0.05, 2.15] =4e(0.8*0.05) – (0.5 * 2.15)K2 =3.088243
 
K3 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3.088243) /2] =f [0.05, 2.154412]
K3 =4e(0.8*0.05) – (0.5 * 2.154412)
K3 =3.086037
 
K4 =f [0 +0.1, 2 +(0.1 *3.086037)] =f [0.1, 2.308603]K4 =4e(0.8*0.1) – (0.5 * 2.308603)
K4 =3.178846
 
y1(0.1) =2 +{0.1 /6 [3 +(2 *3.088243) +(2 *3.086037) +3.178846]}
y1(0.1) =2.308790







ITERACIÓN II          i =1 ; x1 =0.1 ; y1 =2.308790...