antegral
Páginas: 23 (5632 palabras)
Publicado: 9 de julio de 2014
Integrales de línea
I SABEL M ARRERO
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de La Laguna
imarrero@ull.es
Índice
1. Introducción
1
2. Caminos
1
3. Integral de línea de campos escalares
2
3.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3.2. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3.3. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.4. Interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.5. Algunos ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
4. Integral delínea de campos vectoriales
5
4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
4.2. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.3. Otras notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4.4. Propiedades . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.4.1. Propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.4.2. Cambios de parámetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.5. Relación con la integral de línea de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
4.5.1. La integral de la componente tangencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.5.2. Aplicaciones físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5. Independencia del camino
12
5.1. Segundo teorema fundamental del cálculo (regla de Barrow) para integrales de línea . . . . . .
12
5.2. Primer teorema fundamentaldel cálculo para integrales de línea . . . . . . . . . . . . . . . .
14
5.3. Caracterización de los campos vectoriales gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
5.4. Una condición necesaria para que un campo vectorial sea un gradiente . . . . . . . . . . . . .
17
5.5. Aplicaciones físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
19
5.5.1. Potencial newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
5.5.2. Principio del trabajo y la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1
5.5.3. Principio de conservación de la energía mecánica: campos conservativos . . . . . . . .
OCW-ULL 2011/12
20
C ÁLCULO I NTEGRAL V ECTORIAL
INTEGRALES DE LÍNEA
1.
1/21
Introducción
En cursos anteriores se estudió la integral de Riemann simple
b
a
f (x) dx, primero para funciones reales
definidas y acotadas en intervalos finitos, y luego para funciones no acotadas e intervalos infinitos.
En el Tema 1, el concepto de integral de Riemann fue extendido a funciones reales de variable vectorial
(campos escalares). Ahoraextenderemos la noción de integral en otra dirección. El intervalo [a, b] es reemplazado por una curva en el espacio real p-dimensional (p ∈ N, p ≥ 2) definida por una función vectorial α,
y el integrando es un campo escalar f ó vectorial f definido y acotado sobre una curva, llamada camino de
integración. La integral resultante se llama integral de línea, integral curvilínea o integral de contorno, y sedenota por
f dα ó
f · dα, respectivamente (el punto «·» se usa para sugerir el producto escalar de dos
vectores).
Las integrales de línea son de capital importancia en matemática pura y aplicada, y también en física: se
presentan al estudiar el trabajo, la energía potencial, el flujo de calor, el cambio en la entropía, la circulación
de un fluido, y otras cuestiones que involucran el...
I SABEL M ARRERO
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de La Laguna
imarrero@ull.es
Índice
1. Introducción
1
2. Caminos
1
3. Integral de línea de campos escalares
2
3.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3.2. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3.3. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.4. Interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.5. Algunos ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
4. Integral delínea de campos vectoriales
5
4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
4.2. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.3. Otras notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.4. Propiedades . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.4.1. Propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.4.2. Cambios de parámetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.5. Relación con la integral de línea de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
4.5.1. La integral de la componente tangencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.5.2. Aplicaciones físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5. Independencia del camino
12
5.1. Segundo teorema fundamental del cálculo (regla de Barrow) para integrales de línea . . . . . .
12
5.2. Primer teorema fundamentaldel cálculo para integrales de línea . . . . . . . . . . . . . . . .
14
5.3. Caracterización de los campos vectoriales gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
5.4. Una condición necesaria para que un campo vectorial sea un gradiente . . . . . . . . . . . . .
17
5.5. Aplicaciones físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
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5.5.1. Potencial newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.5.2. Principio del trabajo y la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
5.5.3. Principio de conservación de la energía mecánica: campos conservativos . . . . . . . .
OCW-ULL 2011/12
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C ÁLCULO I NTEGRAL V ECTORIAL
INTEGRALES DE LÍNEA
1.
1/21
Introducción
En cursos anteriores se estudió la integral de Riemann simple
b
a
f (x) dx, primero para funciones reales
definidas y acotadas en intervalos finitos, y luego para funciones no acotadas e intervalos infinitos.
En el Tema 1, el concepto de integral de Riemann fue extendido a funciones reales de variable vectorial
(campos escalares). Ahoraextenderemos la noción de integral en otra dirección. El intervalo [a, b] es reemplazado por una curva en el espacio real p-dimensional (p ∈ N, p ≥ 2) definida por una función vectorial α,
y el integrando es un campo escalar f ó vectorial f definido y acotado sobre una curva, llamada camino de
integración. La integral resultante se llama integral de línea, integral curvilínea o integral de contorno, y sedenota por
f dα ó
f · dα, respectivamente (el punto «·» se usa para sugerir el producto escalar de dos
vectores).
Las integrales de línea son de capital importancia en matemática pura y aplicada, y también en física: se
presentan al estudiar el trabajo, la energía potencial, el flujo de calor, el cambio en la entropía, la circulación
de un fluido, y otras cuestiones que involucran el...
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