Antenas fractales

RESUMEN
En este trabajo se mencionan las propiedades que tiene un fractal. Se definen la carpeta y el triángulo de Sierpinskii por medios geométricos iterativos y se verifica que son fractales por medio de la métrica de Haussdorff. Se ilustra la importancia de dichos conceptos para la electrónica por medio de su aplicación en antenas.

pequeña se tome tal sección, no tendrá menos detalles queel todo. Los siguientes son ejemplos típicos de fractales.

3. EL CONJUNTO DE CANTOR
El fractal mas sencillo de obtener es sin duda el conjunto de Cantor3. Para ello se extrae del intervalo [0,1] su tercio central, a los dos tercios restantes se les extrae su tercio central... y así sucesivamente. Si juntamos todos los conjuntos obtenidos obtenemos el peine de Cantor, que a continuaciónmostramos en su quinta iteración (Figura 1).

1. INTRODUCCIÓN
En los Sistemas Móviles de Comunicaciones (Celulares, Radio Teléfonos, etc) es de vital importancia el uso racional del espacio. Sin embargo un elemento crucial del sistema que utiliza mucho de ese espacio es la antena. Una solución inesperada para este problema fue construir Antenas Fractales, las cuales son más compactas y tienen ciertaspropiedades que las hacen preferibles a las antenas tradicionales.

Figura 1: Conjunto de Cantor.

2. PRESENTANDO A LOS FRACTALES
La palabra fractal fue acuñada por Benoit Mandelbrot1 a finales de los setenta, pero los objetos que hoy se aceptan como fractales han sido conocidos por artistas y matemáticos por siglos. Aunque la definición de Mandelbrot, "Un conjunto cuya dimensión deHausdorff2 no es un entero", es clara en términos matemáticos no lo es de manera intuitiva, sin embargo se relaciona con el fractal el concepto de la auto similitud: un objeto fractal tiene auto similitud en el sentido de que secciones de él son similares al todo de alguna forma. No importa que tan

4. EL COPO DE NIEVE DE KOCH
En 1890 Peano4 mostró como las Matemáticas pueden traicionar el sentido comúncuando se construyen curvas que llenan el espacio. Hilbert5 desarrolló un construcción similar para exhibir una curva que visita cada punto de un cuadrado y que no es diferenciable en cualquiera de sus puntos. La curva generada por Helge von Koch6 en 1904 es un ejemplo típico de las curvas definidas en ese tiempo
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Alemán (1845-1918) Italiano, (1858-1932) 1 5 Mandelbrot significa “pan dealmendras” en alemán. Alemán. (1862-1943) 2 6 Hausdorff significa “casa del pueblo” en alemán. (1870-1924) SEGUNDO CONGRESO NACIONAL DE ELECTRONICA, 24, 25 Y 26 DE SEPTIEMBRE DE 2002, CENTRO DE CONVENCIONES WILLIAM O JENKINS, PUEBLA. PUE. MEXICO

y que ahora es un fractal clásico. Para construirla se toma un segmento unitario y entonces se extrae el tercio central, reemplazándole por dossegmentos de longitud 1/3. Por cada segmento resultante se repite el procedimiento: a cada segmento se le extrae su tercio central y se sustituye por dos segmentos de un tercio del original. Ahora bien, por cada etapa el total de la curva se multiplica por 4/3. Esto implica que la "longitud" final de la curva es infinita. Sin embargo, no es difícil verificar que el área de la curva es finita (Figura 2).Es decir tenemos una curva de longitud infinita y de área finita. Esta curva no es diferenciable en cualquiera de sus puntos y contiene un número infinito de imágenes de si misma. Por eso, no importa cuan cerca estén dos puntos de la curva, siempre habrá una distancia infinita entre ellos.

3 4  1  1 2  2 1  3 1  A + 3  + 3   + 3   + ... = 4 4 4  4     2 3   A  3  3  3    1 + +   +   + ... = A  4  4  4   4    

Figura 3: Triángulo de Sierpinski.

Así que la figura restante tiene área cero pero no es un conjunto vacío y forma lo que matemática e intuitivamente se llama un polvo.
Figura 2: Copo de Nieve de Koch.

La construcción de la carpeta es similar, sólo que esta vez la figura base es un cuadrado y se extrae un cuadrado...