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Instituto Tecnológico de Minatitlán
6.1 Definicion Valores Vectores Característicos Matriz Cuadrada

INDICE PÁGINAS

CONTENIDO ………………………………. 2-4
EJEPLOS ………………………………. 5
REFERENCIAS
BIBLIOGRAFICAS …………………………. 7
2010
Julio
[Escribir el nombre de la compañía]
22/07/2010

6.1.-DEFINICIÓNDE VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS DE UNA MATRIZ CUADARADA

En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar λrecibe el nombre valor propio, autovalor, valorcaracterístico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.
La palabra alemana eigen, que se traduce en español como propio se usó por primera vez en este contexto por David Hilbert en 1904 (aunque Helmholtz la usó previamente con un significadoparecido). Eigen se ha traducido también como inherente, característico o el prefijo auto-, donde se aprecia el énfasis en la importancia de los valores propios para definir la naturaleza única de una determinada transformación lineal. Las denominaciones vector y valor característicos también se utilizan habitualmente.
Las transformaciones lineales del espacio—como la rotación, la reflexión, elensanchamiento, o cualquier combinación de las anteriores; en esta lista podrían incluirse otras transformaciones—pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores. Los vectores pueden visualizarse como flechas de una cierta longitud apuntando en una dirección y sentido determinados.
* Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se venafectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar que no varía su dirección.
* El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.
* Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vector nulo, que no es un vector propio.
* La multiplicidad geométrica de un valor propio es ladimensión del espacio propio asociado.
* El espectro de una transformación en espacios vectoriales finitos es el conjunto de todos sus valores propios.
Por ejemplo, un vector propio de una rotación en tres dimensiones es un vector situado en el eje de rotación sobre el cual se realiza la rotación. El valor propio correspondiente es 1 y el espacio propio contiene a todos los vectores paralelosal eje. Como es un espacio de una dimensión, su multiplicidad geométrica es uno. Es el único valor propio delespectro (de esta rotación) que es un número real.
Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Si A: V ! V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial V, v es un vector diferente de cero en V y c es un escalar (posiblemente cero) talesque

Entonces decimos que v es un vector propio del operador A, y su valor propio asociado es c. Observe que si v es un vector propio con el valor propio c entonces cualquier múltiplo diferente de cero de v es también un vector propio con el valor propio c. De hecho, todos los vectores propios con el valor propio asociado c junto con 0, forman un subespacio deV, el espacio propio para el valorpropio c.

VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS
El cálculo de los valores propios y de los vectores propios de una matriz simétrica tiene gran importancia en las matemáticas y en la ingeniería, entre los que cabe destacar, el problema de la diagonalización de una matriz, el cálculo de los momentos de inercia y de los ejes principales de inercia de un sólido rígido, o de las frecuencias propias...