aplicación práctica de la integrañ

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo de investigación veremos los métodos de integración, en donde podaremos observar cómo van desde integraciones directas, hasta la integración por partes; del mismo modo presento casos prácticos en los cuales vemos el desarrollo, como su nombre lo dice, de la integral; del mismo modo veremos las integrales con limites tanto inferior, como superior; dándoleasí un rango o bien una distancia entre dos puntos.
También veremos el cambio de variables, que es uno de los métodos más usados en la integración. El anterior permite expresar la integral inicial mediante un nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la integral equivalente a la primera.
DESARROLLO

El problema de resolver una integral indefinida o buscar una primitiva es mucho más complicadoque el problema de calcular la derivada de una función. De hecho, no existe un algoritmo determinista que permita expresar la primitiva de una función elemental, es más, la primitiva de muchas funciones elementales de hecho no es ninguna función elemental. Por ejemplo, no existe ninguna función elemental F(x) que sea tal que:



Si se consideran grupos de funciones elementales de un ciertotipo (poli nómicas, fracciones racionales, trigonométricas, etc.) entonces el problema de encontrar la primitiva puede resolverse con problemas elementales llamados métodos de integración como los tratados a continuación.

INTEGRACIÓN DIRECTA

En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una funcióncuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la anti derivada. La integración directa requiere confeccionar una tabla de funciones y sus anti derivadas o funciones primitivas.

Ejemplo:
.

En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de es

Por tanto:

EjemploCalcular la integral indefinida.

Una fórmula estándar sobre derivadas establece que . De este modo,

La solución del problema es

No obstante, puesto que la función está definida en los números negativos también ha de estarlo su integral, así que, la integral escrita de una forma rigurosa sería ln (|x|)


MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

El método de integración porsustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o anti derivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.Suponiendo que la integral a resolver es:

En la integral se reemplaza con ():

(1)
Ahora se necesita sustituir también para que la integral quede sólo en función de:

Se tiene que por tanto derivando se obtiene

Se despeja y se agrega donde corresponde en (1):

Simplificando:

Hay que considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrarioempeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.

Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva, hay que modificar los límites de integración. Sustituyendo x por el límite de integración, se obtiene uno nuevo.

En este caso, como sehizo:
(Límite inferior)
(Límite superior)

Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:




Suponiendo ahora que la integral a resolver es:


Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funciones trigonométricas, dígase: y la sustitución conveniente resulta ser :

,

Entonces (por Teorema de la suma y la resta)



Por otra...