Aplicaciones de fractales

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Aunque puedan parecer simples figuras creadas para entretener a los matemáticos, existen
muchas aplicaciones de los fractales tanto a nivel teórico como en el práctico. Teniendo en cuenta la gran amplitud del campo de su aplicación, a continuación nos vamos a limitar a enumerar las más llamativa y, por decirlo de algún modo, las que resultan más espectaculares. Desde luego, su aplicación en elcampo de las ciencias abstractas ha sido realmente grande. Una de sus aplicaciones más inmediatas es el estudio de las soluciones de sistemas de ecuaciones de más de segundo grado. De hecho, en los albores del estudio de los fractales, John Hubbard, matemático estadounidense, represento en un plano el modo como el método de Newton, para resolver ecuaciones, lleva desde diferentes puntos inicialesa cada una de las soluciones. Anteriormente se pensaba que cada solución tendría una cuenca de atracción que dividiría el plano en varias partes y que cuyos puntos condujeran a dicha solución. Sin embargo, mediante la exploración por ordenador y la asignación de un color a cada cuenca, Hubbard comprobó que los límites de estas regiones del plano no estaban de ninguna manera bien definidos. Enestos límites se encontraba puntos de un color dentro de otros puntos de color y conforme la rejilla de números se iba ampliando más compleja se iba revelando la frontera. En realidad, podía considerarse que no existía tal frontera.

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Comprimir la imagen de un objeto autosemejante, haciendo usodel teorema del collage, debemos encontrar un IFS, conjunto de transformaciones que lleva la figura completa (en negro) en cada una de sus partes autosemejantes (rojo, azul celeste y azul marino). La información sobre la imagen quedará codificada en el IFS, y la aplicación reiterada de dichas transformaciones permite obtener la imagen procesada en cuestión.
Pero el enfoque anterior planteaproblemas con muchas imágenes reales: no esperamos, por ejemplo, que la imagen de un gato presente pequeños gatitos distorsionados sobre sí mismo. Para solventarlo, en 1989 Arnaud Jacquin creó el esquema de sistemas de funciones iteradas particionadas: en él se subdivide la imagen mediante una partición y para cada región resultante se busca otra región similar a la primera bajo las transformacionesapropiadas.7
El esquema resultante es un sistema de compresión con pérdidas, de tiempo asimétrico. Lamentablemente aún se tarda mucho en encontrar las transformaciones que definen la imagen. No obstante, una vez encontradas, la descodificación es muy rápida. La compresión, aunque dependa de muchos factores, suele ser equiparable a la compresión JPEG, con lo cual el factor tiempo resultadeterminante para decantarse por uno u otro sistema.

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Biología |   | Crecimiento tejidos, organización celular Evolución de poblaciones Depredador-presa. Además, el concepto de fractal y su dimensión han tenido gran repercusión en el campo de labiología. Por un lado, se pueden apreciar grandesejemplos de estructuras fractales en el cuerpohumano como la red de venas y arterias. A partir de un vaso sanguíneo grande como la aorta vansaliendo vasos más pequeños hasta la aparición de los finísimos capilares de forma que cubran elmayor espacio posible para llevar nutrientes a las células. Por otro, se cree adivinar cierta similitudentre la generación de fractales yel código genético, ya que enambos casos a partir de una información muy reducida enapariencia, surgen complejas estructuras. |
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