Aplicaciones de la estatica

Inecuaciones
Desigualdades

Diremos que a < b “a es menor que b” si b − a es un número positivo.
Gráficamente, a queda a l’esquerra de b.
Diremos que a > b “a mayor que b” si a − b es un número positivo.
Gráficamente, a queda a la derecha de b.
Diremos que a ≤ b “a es menor o igual que b” si a < b , o bien, a = b .

Diremos que a ≥ b “a es mayor o igual que b” si a > b , o bien, a = b .Ejemplos:
− 3 > −10

−5 < 7

−2≤3

−1 −1
≥
3
2

Propiedades de les desigualdades.
Propiedad 1:
Si a < b , entonces, a + c < b + c .

Propiedad 2:
a0

, entonces, a ⋅ c < b ⋅ c

Propiedad 3:
a a} , es decir, los números reales mayores que a.
Definimos intervalo cerrado de extremos a, + ∞ y lo representaremos [a,+∞[ al conjunto:
[a,+∞[ = {x ∈ R / x ≥ a} , es decir, losnúmeros reales mayores o igual que a.
Definimos intervalo abierto de extremos − ∞ , a y lo representamos ]− ∞, a[ al conjunto:
]− ∞, a[ = {x ∈ R / x < a} , es decir, los números reales menores que a.
Definimos intervalo cerrado de extremos − ∞ , a y lo representamos ]− ∞, a] = al conjunto:
]− ∞, a] = {x ∈ R / x ≤ a} , es decir, los números reales menores o igual que a.

Inecuaciones de primergrado con una incógnita.
Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen letras (incógnitas) de valor
desconocido.
Si sólo hay una incógnita y es de grado 1 la inecuación es de primer grado con una incógnita.

Procedimiento para resolver una inecuación de primer grado con una incógnita.
•
•
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•
•

Quitar denominadores, multiplicando ambas partes de la inecuación por elmínimo común
múltiplo de los denominadores (propiedad 2 o 3).
Quitar paréntesis. (propiedad distributiva).
Transposición de términos, para conseguir una inecuación de una de las formas siguientes:
a ⋅ x < b , a ⋅ x ≤ b , a ⋅ x > b , o bien a ⋅ x ≥ b (propiedad 1)
Despejar la incógnita. (Propiedad 2 o 3)
Determinar la expresión analítica, por intervalos y gráfica de la solución.

Ejercicios deautoaprendizaje:
a) Resuelve la inecuación
2( x − 3) ≤ 4 x + 2
Quitamos el paréntesis efectuando operaciones:
2x − 6 ≤ 4 x + 2
Transponemos los términos de la inecuación (propiedad 1):
2x − 4 x ≤ 2 + 6
− 2x ≤ 8
Despejamos la incógnita. Notamos que el coeficiente de la incógnita es negativo, por tanto
aplicaremos la propiedad 3. La desigualdad cambia de sentido:

8
−2
Entonces:
x ≥ −4es la solución analítica.
[− 4,+∞[ es la solución por intervalos.
x≥

es la solución gráfica

b) Resuelve la inecuación
2x + 3 > 2( x + 3)
Quitamos el paréntesis efectuando operaciones:
2x + 3 > 2x + 6
Transponemos los términos de la inecuación:
2x − 2x > 6 − 3
0>3
Esta desigualdad es falsa por tanto la inecuación no tiene solución.
Nota: si la desigualdad fuera verdadera cualquiernúmero real sería solución de la inecuación.

c) Resuelve la inecuación
5x − 3 x − 5 x + 1
+
<
6
18
3
Quitamos los denominadores multiplicando ambas partes de la inecuación por el mínimo común
múltiplo de los denominadores mcm(3, 6, 18) = 18
⎛ 5x − 3 x − 5 ⎞
⎛ x + 1⎞
18⎜
+
⎟ < 18⎜
⎟
18 ⎠
⎝ 6
⎝ 3 ⎠
3(5 x − 3) + x − 5 < 6( x + 1)
Quitamos los paréntesis:
15 x − 9 + x − 5 < 6 x+ 6
Transponemos los términos:
15 x + x − 6 x < 6 + 9 + 5
10 x < 20
Despejamos la incógnita. Notamos que el coeficiente de la incógnita es positivo. (propiedad 2)
20
x<
10
x < 2 es la solución analítica.
]− ∞, 2[ es la solución por intervalos.

Es la solución gráfica.

Inecuaciones de grado mayor que 1 con una incógnita.
Método de resolución:.
1.
2.
3.
4.
5.

Desigualar lainecuación a cero.
Calcular los ceros o raíces del polinomio.
Representar los ceros en la recta real.
Calcular el signo del valor del polinomio en cada intervalo que determinan los ceros.
Resolver la inecuación.

Ejercicios de autoaprendizaje:
1. Resuelve la inecuación:
(x + 2)2 ≤ x + 8
Efectuemos operaciones:
x 2 + 4x + 4 ≤ x + 8
Desigualamos a cero la inecuación:
x 2 + 3x − 4 ≤ 0...