Aplicaciones

Se conoce el volumen del cilindro que conformara el encierro y se busca que el área de la red sea minima. Por lo que se debe plantear dos formulas: el volumen de un cilindro, el cual es un datoconocido al igual que el área del mismo.
V=πr^2 h
πr^2 h=100…(1)
Diagrama.
En la siguiente figura adyacente se muestra un cilindro extendido.Se puede observar que el área total del encierroestará dada por la suma de las áreas de las paredes y el fondo.







A partir de lo anterior mencionado obtenemos la siguiente ecuación.
A=A_C+A_R= πr^2+2πrh…(2)
Podemos observar que en laecuación 2 existen dos variables.Se busca que el valor de A en (2) sea minimo.
Escribimos la ecuación (2) en términos de una sola variable para poder obtener el minimo del área,utilizamos laecuación (1) .
Despejamos h en la ecuación (1) obteniendo:
h=100/(πr^2 )
Sustituimos el valor de h en la ecuación (2)
A=πr^2+2πr(100/(πr^2 ))=πr^2+200/r
A= πr^2+200/r…(3)
En la ecuación (3) sedescribe el área como función ,únicamente del radio.Esta excpresion se deriva para encontrar el valor del radio que resulte en un punto critico del área.
dA/dr=d/dr ( πr^2+200/r)=2 πr-200/r^2
Lospuntos críticos se encontrar igualando la derivada a cero,por lo que se obtiene:
2 πr-200/r^2 =0
2 πr=200/r^2
r^3=200/2π
r=∛(200/2π)=3.17
Por lo tanto,si el radio es de r=3.17 m, el área serámáxima o mínima.Por lo tanto se comprueba que este valor del radio corresponde al área minima utilizando el criterio de la segunda derivada.
(d^2 A)/〖dr〗^2 =d/dr (2 πr-200/r^2 )=2π+ 400/r^3(d^(2 ) A)/〖dr〗^2 =2π+ 400/(3.17)^3
La segunda derivada es positiva,por lo que ,el punto critico encontrado es un minimo.
De (1) se despejo h=100/(πr^2 ) ,por lo tanto, si r=3.17m,entoncesh=100/(π(3.17)^2 )=3.17
Conclusión:
El encierro deberá tener un radio de 3.17m y una profundidad o altura de 3.17m para ocupar la menor cantidad de material posible teniendo un volumen de 100m^3...