Aplicacionesmatematicas

Introducción:
Modelos de población.
Sea x(t) el numero de individuos en el tiempo t. la ley de Malthus de crecimiento de poblaciones dice que la razón de cambio de la población es proporcional al numero de individuos en ese tiempo, es decir:

Este modelo lineal para crecimiento de poblaciones, son satisfactorios siempre que la población no sea demasiado grande o bien que no se aplique a unfuturo distante.
Cuando la población es demasiado grande, este modelo no puede ser exacto, ya que no refleja el hecho de que los individuos compiten entre si por el limitado espacio vital, por recursos naturales, etc. Así pues, hay que agregar un termino de competición para que el crecimiento de la población este representado en forma mas realista. Una elección adecuada del término competitivo es-bx2 llamada ley logística (Verhulst, en 1837):

Ahora bien, en general la constante b es muy pequeña comparada con a, de tal modo que si x no es demasiado grande entonces el termino es insignificante comparado con ax. Sin embargo, si x es grande –bx2 entonces el término –bx2 debe tomarse en cuenta ya que disminuye la tasa de crecimiento.

Problema 1:
Supóngase que un estudianteportador de un virus de gripe, regresa a un campus universitario, aislado, que tiene 1000 estudiantes. Supongamos que la rapidez con la que el virus se propaga, es proporcional no solo al número de estudiantes contagiados, sino también al número de estudiantes no contagiados. Determinar el número de estudiantes contagiados después de 6 días, sí además se observa que después de 4 días ya eran 50 loscontagiados.
* Definimos los elementos de la función:
* k será la constante de propagación del virus
* x(t) es el número de estudiantes contagiados en t días
* 1000 - x(t) es el número de estudiantes no contagiados
* dxdt es la rapidez con la que el virus se propaga

* La función queda de la siguiente forma:
* dxdt = kx(1000 - x)
* dxx(1000-x) = k dt

*Aplicamos fracciones parciales del lado izquierdo de la función:
* Ax + B(1000-x) = 1
* A1000 – Ax + Bx = 1
* A1000 = 1 y -A + B = 0 entonces, B = A
* A = 11000 y B = 11000

* Nuestra función queda así:
* 11000(dxx) + 11000 (dx(1000-x))= k dt

* Integrando de ambos lados de la ecuación:
* 11000dxx + 11000dx(1000-x) =kdt
* 11000 ln x - 11000 ln (1000 - x) = kt + c

* Simplificando:
* 11000 (ln x - ln (1000 - x)) = kt + c
* ln( x1000-x ) = 1000kt + c1
* eln(x1000-x) = e1000kt+c1
* x1000-x = e1000kt *ec1
* x1000-x = e1000kt *c2
* x1000-x = c2 e1000kt
* x = c2(1000 – x) * e1000kt ………………1

* Utilizamos la primera condición inicial t = 0 , x(0) = 1 en la ecuación 1:* x(0) = c2(1000 – x(0)) *e1000k(0)
* 1 = c2(1000 – 1) * 1
* 1 = c2(999) * 1
* 1 = c2(999)
* c2 = 1999

* Remplazamos c2 en la ecuación 1:
* x = 1000-x* e1000kt 999 ……………..2

* Ahora usamos la segunda condición inicial t = 4, x(4) = 50 en la ecuación 2:
* x(4) = 1000-x(4)* e1000k4 999
* 50 = 1000-50* e4000k 999
* 50 (999) = 950* e4000k
* 49950950 =e4000k
* 52.5789 = e4000k
* ln 52.5789 = ln (e4000k)
* ln 52.5789 = 4000k
* K = ln 52.5789 4000 = 9.90578 * 10-4

* Remplazamos a k en la ecuación 2:
* x = 1000-x* e1000(9.90578 * 10-4)t 999
* x = 1000-x* e0.990578t 999
* 999 x = 1000-x* e0.990578t
* 999 x = (1000e0.990578t) – (x e0.990578t)
* (999 x) + (x e0.990578t) = 1000 e0.990578t
* x (999 +e0.990578t ) = 1000 e0.990578t
* x(t) = 1000 e0.990578t 999 + e0.990578t

* Simplificando:
* x(t) = 1000 e0.990578t 999 + 1000 e0.990578t e0.990578t
* x(t) = 1000 999 e-0.990578t + 1000 1
* x(t) = 1000 (999 e-0.990578t) + 1

* Entonces el número de estudiantes infectados en t = 6 (en días), esta dado por:
* x(6) = 1000 (999 e-0.990578(6)) + 1
* x(6) =...