Aplicada

TEMA: CONSERVACION DEL MOMEMTUM
Cap. 8: Modelos Matemáticos Continuos

Introducción
Modelos Matemáticos Continuos
Mecánica de medios continuos (dinámica de fluidos, elasticidad, dinámica de gases, etc.) es el estudio del movimiento, cinemática y dinámica de sistemas continuos de partículas como líquidos, sólidos y gases. 
Fuera de este tema evolucionar algunos de lasmás importantes ecuaciones diferenciales parciales de la física matemática y la ingeniería y algunas de las técnicas más importantes para resolver problemas aplicados.
Por ejemplo, los orígenes de la teoría de perturbación singular están en el estudio del flujo de aire alrededor de un ala o superficie de sustentación; muchos de los problemas de la teoría de la bifurcación tienen sus inicios en la mecánica de fluidos. Más que cualquier otra área de la ingeniería o la física, la mecánica continua sigue siendo un paradigma para el desarrollo de las técnicas y ejemplos de la matemática aplicada.

Las ecuaciones de campo, o las ecuaciones que rigen la mecánica de medios continuos son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales de cantidades desconocidas, tales como densidad, presión,desplazamiento, velocidad de las partículas, y así sucesivamente; que describen el estado de la continuidad en algún instante. 
Surgen, como es el caso de la ecuación de conducción de calor a partir de las leyes de conservación (a) como la conservación de masa, el impulso y la energía y los supuestos (b) con respecto a la composición del continuo, llamadas relaciones constitutivas o las ecuaciones de estado, bajociertos casos. Por ejemplo, cuando la amplitud de las ondas es pequeña, las ecuaciones se reducen a algunas de las ecuaciones más simples de las matemáticas aplicadas, como la ola de una dimensión.

Las ecuaciones se han desarrollado desde el concepto de que el material que se investiga es un proceso continuo, es decir, que no muestra la estructura, sin embargo finalmente es dividida. Estedesarrollo da lugar a un modelo en el que los parámetros de los fluidos se definen en todos los puntos como funciones continuas del espacio y del tiempo. 
La agregación molecular de la materia es totalmente ajena al modelo de proceso continuo, el modelo es inválido cuando el tamaño de la región de continuo de interés es el mismo orden que la dimensión característica de la estructura molecular. Para losgases esta dimensión es del orden de 10 -7 metros, lo que es el camino libre medio, y para líquidos es del orden de 10-10 metros, que son pocos espacios intermoleculares. Así, el modelo continuo se viola sólo en casos extremos.

8.1 Cinemática
El modelo físico subyacente a la que se aplican las ideas generales es un continuo unidimensional que puede ser pensado como un tubo cilíndrico a travésdel cual un líquido fluye. El líquido puede ser un líquido o gas y la pared lateral de la tubería se supone que no tiene ningún efecto sobre los parámetros de flujo.

A través del movimiento se supone que cada sección se mantiene plana y se mueve longitudinalmente por el cilindro y que no hay variación de cualquiera de los parámetros de flujo en cualquier sección transversal.

Es estesupuesto, que la única variación es longitudinal, que da la descripción de un carácter unidimensional. 
Para entender cómo las magnitudes físicas se definen en un continuo unidimensional consideramos el siguiente experimento mental para observar cómo la densidad de un líquido está relacionada con su estructura molecular.
 
En el tiempo “t” se considera un disco D de líquido de la anchura conun centro en “x0” y que la sección transversal es de área “A”, Ver fig. 8.1.
La densidad media del fluido en D es: donde es la masa de fluido en D.
Para definir la densidad p(x0, t) se examina lo que sucede cuando se aproxima a cero. El gráfico de la figura. 8.2 recoge los resultados del experimento.
En la región II, porque hay muchas partículas (moléculas) dentro de D, es de esperar...