Aprendis De Ingenieria

APENDICES. A. ALGEBRA. Reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones, donde a, b, c y d son cuatro números:

a c ad ± bc ± = b d bd ⎛ a ⎞⎛ c ⎞ ac ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ b ⎠⎝ d ⎠ bd a b ad = c d bc
Para multiplicar y dividir potencias, se aplican las siguientes reglas, donde n y m son números y x alguna variable:

xn xm = xn+m xn = xn−m m x
Una potencia fraccionaria corresponde a una raíz:x1 n = n x
Cualquier cantidad xn que es elevada a una potencia m, es:

(x )
Cuadrado de un binomio: Diferencia de cuadrados:

n m

= x nm

Algunas fórmulas útiles para factorizar una ecuación son:

(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
a 2 − b 2 = (a + b )(a − b )

La forma general de una ecuación cuadrática es:

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ax 2 + bx + c = 0
donde x es la cantidad desconocida y a, b y cson factores numéricos conocidos como coeficientes de la ecuación; tiene dos soluciones dadas por:

x=
2

− b ± b 2 − 4ac 2a

Si b ≥ 4ac , las soluciones serán reales. Logaritmos. Si la variable x se expresa como potencia de una cantidad a, de la forma

x = ay
el número a se llama base. El logaritmo de x con respecto a la base a es igual al exponente al cual se debe elevar la base, que seescribe como:

y = log a x
En la práctica, las dos bases mas usadas son la base 10, llamada logaritmo común, y la base e = 2.718..., llamada logaritmo natural. Para el logaritmo común y natural se utiliza respectivamente las notaciones:

y = log x ⇔ x = 10 y y = ln x ⇔ x = e y
Algunas propiedades de los logaritmos son las siguientes: log(xy) = log x + log y log(x/y) = log x - log y log(xn)= n log x log 1 = ln 1 = 0 ln e = 1 ln ea = a

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B. GEOMETRÍA La distancia d entre dos puntos cuyas coordenadas son ( x1 , y1 ) y ( x 2 , y 2 ) es:

d = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
Para calcular el ángulo en radianes, se sabe que la longitud del arco s (Fig. B.1) es proporcional al radio r, para el valor de θ medido en radianes.

s = rθ ⇒ θ =

s r
Figura B.1

La ecuación deuna línea recta (Fig. B.2) está dada por y = mx + b , donde b es la intersección con y y m la pendiente de la recta. La ecuación de un círculo de radio R centrado en el origen es: x + y = R
2 2 2

x2 y2 La ecuación de una elipse con el origen como su centro (Fig. B3) es: 2 + 2 = 1 , donde a b
a es la longitud del semieje mayor y b es la longitud del semieje menor.

Figura B.2

Figura B.3463

La ecuación de la parábola cuyo vértice está en y = b (Fig. B.4) es: y = ax + b . La ecuación de una hipérbola rectangular (Fig. B.5) es: xy = cte

2

Figura B.4 Areas y volúmenes. Forma Rectángulo lados a y b Circunferencia de radio r Triángulo base b, altura h Caja rectangular lados a, b, c Cilindro largo h, radio r Esfera radio r

Figura B.5

a×b πr 2 1 bh 2 2(ab + bc + ca)2(πr 2 + πrh) 4πr 2

Area

Volumen

a×b×c

πr 2 h
4 3 πr 3

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C. TRIGONOMETRÍA. La parte de las matemáticas que se basa en las propiedades especiales de los triángulos rectángulos se llama trigonometría. Por definición, un triángulo recto es el que contiene un ángulo de 90°. Considérese el triángulo recto de la figura C.1, donde el lado a es opuesto al ángulo θ, el lado b es adjuntoal ángulo θ y el lado c es la hipotenusa del triángulo. Las tres funciones trigonométricas básicas definidas para tales triángulos son las funciones seno (sen), coseno (cos) y tangente (tan). En términos del ángulo θ, estas funciones se definen por:

senθ ≡

lado opuesto a θ a = hipotenusa c lado adyacente a θ b = hipotenusa c lado opuesto a θ a = lado adyacente a θ b

cosθ ≡

tanθ ≡Figura C.1

El teorema de Pitágoras da la siguiente relación entre los lados de un triángulo rectángulo:

c2 = a2 + b2
De las definiciones anteriores y el teorema de Pitágoras, se sigue que:

sen 2θ + cos 2 θ = 1

tan θ =

senθ cos θ

Las funciones cotangente, secante y cosecante están definidas directamente de un triángulo recto mostrado en la figura C.1 como:

cot θ ≡

1 tan θ...