apunte edo

U. DE CHILE

INGENIERIA

Universidad de Chile
Escuela de Ingenier´
ıa
Departamento de Ingenier´ Matem´tica
ıa
a

ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
MA26A

7 de Julio del 2004

Observaciones
Capitulos 1,2,3 redactados por el alumno Oscar Peredo a partir de un apunte de Axel Osses.
Capitulos 4,5 redactados por el alumno Andre de Laire a partir de un apunte de Axel Osses.Capitulo 6 seccion 1 redactado por el alumno Ricardo Menares a partir de un apunte del curso de
Leonardo Sanchez.
Capitulo 6 seccion 2 redactado por el alumno Ricardo Menares a partir de un apunte del curso de
Felipe Alvarez.

´
Indice general
1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Elementales

9

1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
o

9

1.2. Integraci´n Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

10

1.2.1. Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3. Variables Separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4. EDO lineal de primer orden homog´nea . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
e

15

1.5. EDO lineal de primer orden no homog´nea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

16

1.5.1. Existencia y Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6. Ecuaciones reductibles a los casos elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.6.1. Ecuaciones ”homog´neas” de alg´ n grado . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
e
u

19

1.6.2. Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.6.3. Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.6.4. EDO de segundo orden donde no aparece la variable dependiente . . . . . .

23

1.6.5. EDO de segundo orden donde no aparece la variableindependiente . . . . .

24

1.7. Poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.7.1. Modelo de Malthus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.7.2. Modelo malthusiano m´s realista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

27

1.7.3. Modelo log´
ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

28

1.7.4. Modelo cazador-presa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.7.5. Modelo epidemiol´gico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

31

1.7.6. Modelo de alelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

1.8. Ecuaciones Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .

32

2. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de orden superior
3

38

2.1. Ecuaciones Lineales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.1.1. Solucion Homog´nea a coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

40

2.1.2. Solucion Particular a coeficientes constantes (M´todo de Lagrange o Variaci´n
e
o
dePar´metros) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

42

2.1.3. Soluci´n a coeficientes variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

45

2.1.4. Independencia Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.2. Ecuaciones Lineales de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

482.2.1. Transformaci´n a un sistema vectorial
o

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.2.2. Existencia y Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.2.3. Espacios S y H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.2.4. Wronskiano de dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.2.5....