apunte multi

Apunte de clase
geo-estadistica multivarible
Prof.: José Delgado Vega
Dr Geología de la Ingeniería ENSMP
Esp. Geoestadistica ENSMP
Esp. Explotación Minas a Cielo Abierto y Cantera ENSMP
Ing Civil de Minas U.A

Geoestadistica multivariable

Porque la geoestadistica multivariable

1.-Coloca en evidencia las relaciones estructurales entre variables
2.-Mejora la estimación de una variable con laayuda de otra
3.-Estima de manera coherente diferentes variables
4.-Simula conjuntamente muchas variables

Ejemplo de co variables

Leyes de diferentes metales concentraciones de
diferentes elementos
Potencia de una veta
Indicatrices de diferentes Facies
Diferentes tipo de medidas errores
Etc

VARIOGRAMA CRUZADO
comportamiento espacial en conjunto

g ZS

g ZS
Si Z y S son funcionesaleatorias estacionarias o intrínsecas, el
variograma cruzado de ellas se define como :

g

1
ZS (h) = E[(Z ( x) - Z ( x + h)) ( S ( x) - S ( x + h))]
2

Para su estimación se utiliza el variograma cruzado experimental

g

*
ZS ( h) =

1
2 N (h )

å ( z ( xi ) - z ( x j ))(s( xi ) - s( x j ))

xi - x j = h

g ZS
Algunas propiedades del variograma cruzado son:

1)

g ZS (0 ) = 0

2)

g ZS (- h ) = g ZS(h )

3)

g ZS (h) = g SZ (h)

El variograma cruzado es una función simétrica

4) Relación con la función de covarianza cruzada
La función de covarianza cruzada se define como:

CZS (h) = E [(Z (x) - mZ )(S(x + h) - mS )]

g ZS
La función de covarianza cruzada se relaciona con el variograma cruzado a través de la
ecuación

g

1
ZS ( h) = C ZS (0 ) - (C ZS (h ) + C SZ (h ))
2

Esta expresión sedebe al hecho de que la función de covarianza no necesariamente es
simétrica. Es decir, en general

C ZS (h ) ¹ C SZ (h )
Sin embargo, una práctica común es asumir que la función de covarianza es simétrica.
Esto simplifica enormemente los cálculos asociados a la estimación de la función de
covarianza conjunta. En ese caso,

g ZS (h) = CZS (0) - C ZS (h )

g ZS
5) Relación de dependencia
Esimportante tener presente que entre el variograma cruzado y los variogramas de
cada una de las variables, existe una relación de dependencia. Por ejemplo, se puede
demostrar que:

g ZS (h )

2

£

g Z (h )g S (h )

Desigualdad de Hölder

En particular, El producto de cada uno de los sill de los variogramas individuales es
mayor que el cuadrado del sill del variograma cruzado.

(s )

2 2
ZS

£

s Z2 s S2En consecuencia, el modelo de variograma cruzado no puede ser escogido
independientemente de cada uno de los modelos de variogramas
individuales

!

g ZS
5) El modelo de coregionalización lineal
Anteriormente se aseguraba que la varianza de combinaciones lineales de la variable
de interés era positiva utilizando modelos de variograma. Al incluir más variables, es
necesario asegurar que lavarianza de combinaciones lineales de estas sea positiva.

Para lograr esto se utiliza el modelo lineal de coregionalización, que establece que los
variogramas individuales y el cruzado son combinaciones lineales de modelos de
variogramas. En el caso de 2 variables se tiene que:

g Z (h) = u1g 1 (h) + u2 g 2 (h) + L + um g m (h)
g S (h) = v1g 1 (h) + v2 g 2 (h) + L + vm g m (h)
g ZS (h) = w1g 1 (h) + w2g 2 (h) + L + wm g m (h)

g ZS
Las ecuaciones anteriores se puede escribir en forma matricial como:

é g Z (h) g ZS ( h) ù éu1 w1ù ég 1(h)
0 ù
+ L+
ê
ú=ê
ú
ê
ú
g 1(h)û
ëg ZS (h) g S (h) û ëw1 v1 û ë 0

0 ù
éum wm ù ég m (h)
êw v ú ê 0
ú
g
(
h
)
m û
ë m m ûë

Cada una de las matrices que contienen los variogramas son definidas positivas, por lo
tanto para que el resultado final sea una matrizdefinida positiva debe ocurrir que:

uj > 0

vj > 0

u j v j - w2j > 0

g ZS
El uso del modelo de coregionalización lineal tiene las siguientes consecuencias:
1) Todo estructura presente en el variograma cruzado deber estar presente en los
variogramas individuales. El recíproco no es cierto.
Esto hace que en general resulte engorroso ajustar variogramas experimentales de las
variables y sus...